Endormorphisme cyclique

par **wall** » 23 Mar 2014, 15:47

Bonjour,

J'ai besoin d'aide pour l'exercice suivant :

E désigne un R-espace vectoriel de dimension 2. id est lapplication identité de E. n est un entier naturel véri;)ant n

2. On dit quun endomorphisme f de E est cyclique dordre n lorsquil existe n vecteurs

,...,

de E véri;)ant :
(

, ...,

) est une famille génératrice de E.
f (

) =

, f (

) =

, ..., f (

) =

et f (

) =

.

p

{2, ... , n},

.
Une telle famille (

, ... ,

) est appelée un cycle pour f .

On prend f

cyclique d'ordre n.

Je suis à une question ou on demande de montrer qu'il existe a,b réels et une base de E dans laquelle la matrice de f est

=

Avez vous une piste pour que je puisse commencer ?

Merci par avance :lol3:

par **Ben314** » 23 Mar 2014, 15:51

Salut,
ben jusque là, t'as pas beaucoup avancé....

ça veut dire quoi pour les vecteurs (v,w) de la base en question que la matrice dans cette base est de la forme susdite ?
Dés que tu as répondu à ça, c'est évident (dailleurs il n'y a qu'un seul type super simple d'endomorphisme qui ne peut pas s'écrire sous cette forme dans une base bien choisie)

par **wall** » 23 Mar 2014, 15:56

J'ai déjà que
- 2 vecteurs quelconques dans un cycle sont distincts
- 2 vecteurs consécutifs forment une base de E
-

= id
-

= id pour k entre 0 et n strictement

Mais je ne vois pas comment m'en servir.

par **Ben314** » 23 Mar 2014, 16:08

Ben314 a écrit:ça veut dire quoi pour les vecteurs (v,w) de la base en question que la matrice dans cette base est de la forme susdite ?

par **wall** » 23 Mar 2014, 16:19

Je ne vois pas ! Ca veut dire que v et w sont symétriques de f par rapport à id peut être ?

par **Ben314** » 23 Mar 2014, 16:38

wall a écrit:Je ne vois pas ! Ca veut dire que v et w sont symétriques de f par rapport à id peut être ?

ça veut dire quoi pour toi des vecteurs "symétriques de f par rapport à Id" ?
Parce que pour moi... je préfère pas te dire...

Donc on va revenir au B-A-BA de l'algèbre linéaire : lorsque tu as un endomorphisme f sur un e.v. de dim finie et une base B de cet e.v., c'est quoi qu'on appelle "la matrice de f dans la base B" ?