Exercice Dm - valeur propre - conditionnement matrices

[chouette39]

Bonjour,
Je rechercherais quelqu'un pour m'aider pour le sujet de Dm suivant :


Soit M appartenant à Mn(R) une matrice symétrique. On note Dmin(M) (respectivement Dmax(M) ) la plus petite (respectivement la plus grande) valeur propre de M. ||.|| désigne la norme euclidienne de R^n et <.,.> le produit scalaire.

1. Montrer que Dmin(M) = min / ||x||² et Dmax(M) = max / ||x||² où x différent de 0

2. Soient A appartient à Mn(R) une matrice symétrique définine positive et B appartient à Mn(R) une matrice inversible. On pose A ' := BtAB. Montrer que A' est définie positive. (Bt : matrice transposée de B)

3. Soit C:=(BBt)^-1. Montrer les égalités :

Dmin(A ') = min / et Dmax(A ') = max /

4. On suppose qu'il existe deux réels a et b strictement positifs tels que 0 < a <= / <= b pour tout xappartenant à R^n x différent de 0. Montrer alors que cond2 (A ') <= b/a

Merci d'avance pour les reponses...

[Ben314]

Salut,
Déjà, pour ce genre de calculs, tu as intérèt à écrire que =Xt.Y où X et Y sont les vecteurs colonnes des coordonnées de x et Y dans une base orthonormé (donc Xt est le vecteur ligne des coordonnées de x dans la b.o.n)

1) Le plus simple est d'utiliser le fait que toute matrice symétrique est diagonalisable (réel) dans une b.o.n : ça fait qu'il suffit de vérifier le résultat pour une matrice diagonale.

2) C'est une simple vérification de la définition de "définie positive"

3) tu écrit la formule du 1) pour A' et dedans, tu pose x=By (tu peut vu que B est bijective) et tu tombe sur la formule demandée.

4) Je sais pas ce qu'est cond2(?)

[zygomatique]

salut
M est symétrique donc diagonalisable ...

pour tout x il existe un réel r valeur propre associée à x et Mx = rx

min min = min r = d||x||

en gros ....

[chouette39]

Merci beaucoup pour vos réponses, j'ai réussi à faire la question 1 et 3 grâce à cela !

Pour la question 2, je sais bien que c'est juste la définition qu'il suffit de vérifier mais je n'arrive pas à modifier mon produit scalaire pour obtenir le bon résultat...

Pour la question 4, cond2(A ') c'est le conditionnement de la matrice A' pour la norme 2.
Cond2 (A') = ||A|| . ||(A)-1|| avec ||.|| la norme 2...

[Ben314]

Pour la question 2), est clairement symétrique et il faut que tu montre que la forme quadratique associée est strictement positive sur les vecteurs non nuls, c'est à dire que le scalaire est strictement positif pour tout vecteur colonne non nul.

Or qui est bien strictement positif vu que le vecteur est non nul (car est inversible) et que A est supposée définie positive.

[Ben314]

Pour le 4), je suis toujours pas sûr en ce qui concerne la norme....
Si c'est où et sont les normes euclidiennes des vecteurs correspondant, alors, de mémoire, en général, ça vaut la racine carré de la plus grande valeur propre de la matrice symétrique positive et donc dans le cas où est symétrique positive, c'est simplement la plus grande valeur propre de .

Si c'est bien ça alors le résultat est imédiat : vu l'hypothèses (et en utilisant la question 3) la plus grande valeur propre de est inférieure a et la plus petite est supérieure à ce qui implique que la plus grande valeur propre de est inférieure à vu que les valeurs propres de sont les inverses des valeurs propre de et que la fonction est décroissante sur

[chouette39]

Oui dans mon cours on prend un vecteur x de norme égal à 1 et du coup on ne divise pas par sa norme pour ||A|| mais c'est la même chose. Merci beaucoup ! Je vais pouvoir regarder ça pour bien comprendre. Par contre, pour la question 2, = <(B-1)A'By,y>... et non pas Bt du coup on obtient pas le résultat, enfin je ne l'ai pas trouvé...

[Ben314]

= ... et non pas Bt du coup on obtient pas le résultat, enfin je ne l'ai pas trouvé...

Non, c'est bien la transposée qui "apparait" de l'autre coté lorsque tu "enlève" le B de droite.
C'est là que l'écriture =XtY permet de ne pas se gourrer :
= (A'BY)t B Y = Yt Bt A't B Y = (Bt A' B Y)t Y =

[chouette39]

Pour la question 4, je comprend sans probleme, je ne vois cependant pas d'où vient le fait que la norme de A est egale a la valeur propre maximale...

[Ben314]

Ta matrice A est diagonalisable dans une base orthonormée.
Si un vecteur X a pour cordonnées (x1,x2,...xn) dans cette base, le carré de la norme de X est x1²+x2²+...+xn² (car la base est orthonormée) et le carré de la norme de AX est (a1x1)²+(a2x2)²+...+(anxn)² (toujours car la base est orthonormée) où les ai sont les valeurs propres.
tu en déduit que ||AX||² <= Max{ai²} ||X||² avec égalité si X=(0,...0,1,0,...0)

[zygomatique]

salut

il me semble qu'il y a des choses ici :: http://www.ilemaths.net/forum-sujet-599205.html

[Ben314]

Tient, à propros, ça :

pour tout x il existe un réel r valeur propre associée à x et Mx = rx

c'est... un peu n'importe quoi...

[zygomatique]

effectivement ... un raccourci qui ne veut rien dire ...

ce que je voulais dire plutôt : la matrice est diagonalisable dans une base de vecteurs propres ....

[Ben314]

Ce qui est surtout important ici, c'est que la matrice est diagonalisable dans une base orthonormée ce qui fait que les calculs de norme et de produit scalaire peuvent se faire directement dans la nouvelle base.