Probabilité

[Sei]

Bonjour à tous, je souhaites vérifier mes résultats et pour cela j'aurais besoin de votre aide.

Dans un jeu de 32 cartes, il y a quatre couleurs : pique (noire), trêfle (noire), coeur (rouge), carreau
(rouge), et chaque couleur est composee de huit cartes : 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As.
Un ensemble de huit cartes tirees en même temps dans le paquet de 32 cartes s'appelle une main.
Un ensemble de huit cartes tirees l'une apres l'autre et rangees dans l'ordre ou on les a tirees, s'appelle un tirage.
A) Concernant les mains.
1) Combien y a-t-il de mains ?
en utilisant la formule
2) Combien y a-t-il de mains contenant l'as de pique ?
On retire l'as qu'on inclue forcément dans la main.
3) Combien y a-t-il de mains ne contenant aucun as ?
On retire tout les as du jeu de cartes.
4) Combien y a-t-il de mains contenant au moins un as ?
Toutes les mains possibles moins toutes les mains avec aucun as.
5) Combien y a-t-il de mains contenant des cartes de toutes les couleurs ?
Je ne suis pas sur de celle-ci. J'imagine que l'on prend une carte de chaque couleur qu'on retire du paquet pour notre main puis on calcule toutes les autres possibilités.

B) Concernant les tirages.
1) Combien y a-t-il de tirages ne contenant aucun as ?
On retire les 4 as du jeu et on utilise ici la formule

2) Combien y a-t-il de tirages dont la première carte est le valet de pique ?
On suppose que l'on a tiré le valet de pique en 1er.
3) Combien y a-t-il de tirages ne contenant que du coeur ?
Tirages sans coeur : on retire donc tout les coeurs.
Tirages ne contenant que du coeur sont tout les tirages possibles moins tout les tirages sans coeur.

[Frede]

Bravo, il me semble que tu as tout juste sauf pour la question 5 du A).

Je pense que la bonne réponse est:

On enlève tous les piques et on voit le nombre de mains possibles. Appelons-le x.

On fait pareil avec les autres couleurs et on trouve que le nombre de mains auxquelles il manque au moins une couleur est 4x

On déduit ce 4x du nombre de mains possibles est on a la réponse.

Ou alors, peut-être qu'on pouvait faire comme tu as fait mais alors, il faudrait multiplier le résultat que tu as trouvé par le nombre de façons d'extraire du paquet 4 cartes de couleurs différentes. C'est possible mais un peu compliqué.

[Ben314]

On fait pareil avec les autres couleurs et on trouve que le nombre de mains auxquelles il manque au moins une couleur est 4x

Attention, le nombre de mains "auquelle il manque au moins une couleur" n'est pas égal à la somme "Nb de mains sans trefle" + "Nb de mains sans carreau" + "Nb de mains sans coeur" + "Nb de mains sans pique"
En effet, dans cette somme, on a compté 2 fois les mains qui sont sans trefle et sans carreau (par exemple).

J'ai bien l'impression que, explicitement ou implicitement, il va faloir utiliser le principe d’inclusion-exclusion...

[Frede]

Damned ! Heureusement qu'il y a du monde pour vérifier mes vérifications !

S'il suffit de
...- calculer le nombre de mains sans piques ni tréfles et le multiplier par 6 puis le retrancher de 4x
...- calculer le nombre de mains sans piques ni trèfles ni coeurs et le multiplier par 4 pour l'ajouter cette fois (car en fait, on doit le retrancher du nombre précédent),

ça parait encore faisable.

Le second calcul donne bien sûr 1 et si on multiplie par 4, ça donne 4.
Le 1er calcul donne bien sûr qu'on doit multiplier par 6 (nombre de combinaisons des 4 couleurs 2 par 2)

Et on doit y arriver

[Tiruxa]

3) Combien y a-t-il de tirages ne contenant que du coeur ?
Tirages sans coeur : on retire donc tout les coeurs.
Tirages ne contenant que du coeur sont tout les tirages possibles moins tout les tirages sans coeur.

Attention, erreur !
On obtient ainsi les tirages contenant au moins un coeur.

Pour les tirages ne contenant que du coeur, on ne garde que les 8 coeurs et on choisit 8 cartes.

Il y a donc tirages possibles autrement dit 8! tirages.