Produit direct

[zork]

Bonjour,

je sais que si j'ai une suite exacte 1->H->G->U->1 avec existence d'une restriction alors
mais y-a-t-il l'équivalent pour un produit direct?
Personnellement j'aurai dit que si on rajoute G abélien alors . Qu'en pensez vous?


merci

[Ben314]

je sais que si j'ai une suite exacte 1->H->G->U->1 avec existence d'une restriction
...

Ta phrase manque désepérément d'un "alors" correspondant au "si"...

d'où une certaine incompréhension de la question...

[zork]

voilà j'ai modifié et rtimes correspond au produit semi-direct

[Ben314]

Finalement, je pense comprendre ton truc :
Ce que tu dit, c'est que si on a une suite exacte de groupes 1->H->G->U->1 et que la surjection G->U admet une section alors G est le produit semi-direct de H et de U.

Aprés, la condition la plus souvent donnée pour que G soit le produit direct de H et de U, c'est que l'injection H->G admette une rétraction.

Bon, aprés, si tu rajoute "G abélien" (et l'existence d'une section à G->U) , ça le fait aussi, mais ç'est un peu un buldozer comme hypothèse vu que ça implique que tout est abélien...

[L.A.]

Bonsoir.

On peut affaiblir le condition "G abélien" en ne demandant que la commutativité des éléments de H avec les éléments de U, et c'est aussi une condition nécessaire.

[zork]

Ben314, pourrais tu me dire ce qu'est une rétractation?

[Ben314]

http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9traction_%28th%C3%A9orie_des_cat%C3%A9gories%29

Si f:A->B est un morphisme d'une catégorie donnée,

- Un "inverse à droite" de f, c'est à dire un morphisme g:B->A tel que fog=Id_B est appelé une "section" de f (et il faut évidement que f soit surjective pour qu'éventuellement un tel g existe)

- Un "inverse à gauche" de f, c'est à dire un morphisme h:B->A tel que hof=Id_A est appelé une "rétraction" de f (et il faut évidement que f soit injective pour qu'éventuellement un tel g existe)

Aprés, ça porte des tas d'autres noms différents en fonction du contexte (i.e. de la catégorie), de la langue, de l'auteur, etc... mais ce sont évidement des notions trés importantes dans à peu prés toutes les catégories.
Par exemple dans la catégorie purement ensembliste, "admettre une section", ça veut exactement dire "être injectif" et "admettre une rétraction", ça veut exactement dire "être surjectif" (modulo l'axiome du choix...)