Conversion entre système polaire et cartésien

[adamNIDO]

Les deux coordonnées polaires ''r'' et peuvent être converties en [[coordonnées cartésiennes]] x et y en utilisant les [[fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques]] sinus et cosinus :





Deux coordonnées cartésiennes ''x'' et ''y'' permettent de calculer la première coordonnée polaire ''r'' par :
(par une simple application du [[théorème de Pythagore]]).
Pour obtenir '';)'' dans l’intervalle , on utilise les formules suivantes

(arctan désigne la [[application réciproque|réciproque]] de la fonction [[fonction trigonométrique|tangente]]) :


ma question est ce que on peut ecrire \theta sous forme d'une seule équation :



c'est à dire il existe un entier ”k” tel que


J'ai une autre question, Peut-on parler en général de congruence modulo 2pi pour les angles ?

Pour moi, on peut. Sauf que la relation de congruence est usuellement définit sur Z.
Cette relation d'équivalence n'est-elle donc pas réservée à Z, et par abus, on l'utiliserait pour les angles ?

[busard_des_roseaux]

bonjour,

pour Q1, la réponse est non.

pour Q2 les angles de vecteurs (ou de demi droites) ont des mesures modulo et les angles de droites modulo . (par contre , le modulo s'additionne dans les deux cas sans problème)

[adamNIDO]

merci, s'il vous plait exist-il une methode pour le rendre sous forme d'une seule equation

[Ben314]

Salut,
Une remarque : ta deuxième formule avec "arctan(y/x)+2.pi", c'est clairement n'importe quoi vu que l'angle theta il se calcul à 2pi prés...

[busard_des_roseaux]

non, pas à ma connaissance.

voilà ce qu'il en est:

tes formules si et si
détermine une mesure d'angle,non modulo .

on ne peut pas "fusionner" ces deux formules en une seule.

[Ben314]

Aprés, si tu veut avoir un "formulaire" tout fait, le plus simple, c'est de passer par l'arc moitié (un seul cas particulier) :

Si avec et alors :
1)
2) sauf si , c'est à dire et où

Preuve :


Aprés, on peut inventer des tas d'autres formules de ce style, mais il y aura forcément une discontinuité quelque part, vu que quand tu fait continuement le tour de l'origine dans le sens direct, l'angle augmente de et ne peut donc pas être égal à la valeur initiale qu'on avait choisi.
La seule façon de contourner le problème, c'est d'enlever à R² une partie telle que, dans le nouvel ensemble, on ne puisse plus faire le tour de l'origine. Le plus simple est d'enlever une demi droite issue de l'origine et, assez souvent, c'est la demi droite des réels négatifs qu'on enlève (mais on peut enlever autre chose...)

[adamNIDO]

Un grand merci pour vous M. Ben314

[busard_des_roseaux]

en fait, il y a une formule.

[Ben314]

en fait, il y a une formule.

Ben, pas vraiment, il manque quand même une demi droite : c'est un peu mieux que 2 demi droite, mais ça n'est pas une formule valable sur R²\{(0,0)} tout entier et c'est normal vu... qu'il n'y en a pas (de continues)

[busard_des_roseaux]

Il y a une formule..Ben, pas vraiment

je veux bien une démonstration qu'il n'existe pas de formule (close)

[Ben314]

S'il y avait une formule f(x,y) continue sur R²\{(0,0)} donnant un angle tel que et alors la fonction serait continue sur avec .
Or, pour tout , donc il existe un entier tel que .
De plus la fonction est continue et comme elle ne prend que des valeurs entières, elle est forcément constante (théorème des valeurs intermédiaires).
Il existe donc une constante telle que ce qui contredit le fait que .

En fait, c'est, écrit "propre" ce que j'avais dit plus haut : si on fait le tour de l'origine, l'angle doit augmenter de 2pi et ne peut valoir la même chose qu'au départ.

[chan79]

ma question est ce que on peut ecrire \theta sous forme d'une seule équation :



c'est à dire il existe un entier ”k” tel que

La valeur de dans, est donnée par ce bidouillage:


Evidemment valable à condition que y soit non nul mais dans ce cas là, les coordonnées polaires sont évidentes.

Encore pire: (toujours pour obtenir dans)


avec x et y différents de 0

[busard_des_roseaux]

on a également



d'où

[Ben314]

Sauf que ça, c'est justement le truc qui ne marche pas vu que le résultat de l'intégrale dépend du parcours choisdi pour aller de (1,0) au point M dont on cherche un argument.

Ou alors, il faut préciser que, par exemple, tu prend pour le segment de (1,0) à M et cela exclu les M=(x,0) avec x<0 vu que dans ce cas, le segment passe par (0,0).

Ou bien on peut dire que, quelque soit le parcours, le résultat de l'intégrale est un des arguments de M, mais dans ce cas, ce n'est plus une fonction vu que c'est multivoque.