Déterminant d'une matrice

par **Cacatoess** » 16 Mar 2014, 09:46

Bonjour,
On vient de commencer les déterminants et j'ai du mal avec celui de cette matrice :
A= a1 b ........b
b a2 b......b
b b . b......b
. . b
. . b
b. an..b

Je l'ai pas très bien présentée mais en gros c'est une matrice qui a sur la diagonale a1,a2.......an et pour le reste il n'y a que des b

Ce serait sympa de m'aider , merci beaucoup !
Et bonne journée ! :we:

par **Manny06** » 16 Mar 2014, 10:36

Cacatoess a écrit:Bonjour,
On vient de commencer les déterminants et j'ai du mal avec celui de cette matrice :
A= a1 b ........b
b a2 b......b
b b . b......b
. . b
. . b
b. an..b

Je l'ai pas très bien présentée mais en gros c'est une matrice qui a sur la diagonale a1,a2.......an et pour le reste il n'y a que des b

Ce serait sympa de m'aider , merci beaucoup !
Et bonne journée ! :we:

tu remplaces L1 par L1-L2 et tu développes suivant la 1° ligne
tu auras (a1-b)*D2-(b-a2)*D avec D=0
ensuite tu recommences

par **Cacatoess** » 16 Mar 2014, 10:39

Manny06 a écrit:tu remplaces L1 par L1-L2 et tu développes suivant la 1° ligne
tu auras (a1-b)*D2-(b-a2)*D avec D=0
ensuite tu recommences

J'ai fait Li<-Li-Li+1 et je trouve det = (a1-b)x(a2-b)x...x(an-b) mais je ne suis pas sûre

parce que pour la dernière ligne ça ferait Ln<-Ln-Ln+1 et Ln+1 est pas dans la matrice ..

par **Manny06** » 16 Mar 2014, 10:56

Cacatoess a écrit:J'ai fait Li<-Li-Li+1 et je trouve det = (a1-b)x(a2-b)x...x(an-b) mais je ne suis pas sûre parce que pour la dernière ligne ça ferait Ln<-Ln-Ln+1 et Ln+1 est pas dans la matrice ..

Tu as raison....j'ai été trop vite
Essaie avec n=2 ou 3 pour voir si tu peux trouver une récurrence

par **Cacatoess** » 16 Mar 2014, 11:09

Cacatoess a écrit:J'ai fait Li<-Li-Li+1 et je trouve det = (a1-b)x(a2-b)x...x(an-b) mais je ne suis pas sûre parce que pour la dernière ligne ça ferait Ln<-Ln-Ln+1 et Ln+1 est pas dans la matrice ..

Ah oui et pourquoi d=0?

par **Manny06** » 16 Mar 2014, 13:54

Cacatoess a écrit:Ah oui et pourquoi d=0?

c'est une erreur

par **Cacatoess** » 16 Mar 2014, 15:34

Je n'arrive toujours pas a trouver :cry:

par **Cacatoess** » 16 Mar 2014, 20:55

Alors personne ?? :(( je trouve vraiment pas je suis bloquée ..

par **Ben314** » 17 Mar 2014, 09:17

Salut,
Une méthode (parmi d'autres...)
Tu agrandit ton determinant en ajoutant en bas une ligne avec n fois b puis un 1 et une colonne à droite avec n fois 0 (et le 1 en bas) : ça ne change pas la valeur du determinant.
Tu retranche la ligne du bas à toutes les autres.
Tu développe ton determinant par rapport à la n-ième ligne qui contient (n-1) fois 0 puis (a_n-b) puis -1 et ça te donne (a_n-b) fois le même determinant mais d'une dimension de moins plus b fois le produit des (a_i-b) pour i de 1 à n-1.
Tu recommence...

Au final ça donne

Qu'on peut écrire plus simplement si on suppose que b est différent des a_i :

Déterminant d'une matrice

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