[1°S] Second degré et valeur absolue

[Restefond]

Bonjour,

Dans quelque temps auront lieux les Olympiades académiques de maths en 1°S et notre professeur nous a donné un petit exercice intéressant pour nous entraîner. (Nous y allons en touristes, juste pour voir!).
Cependant, je n'y arrive pas vraiment...

J'ai recopié l'énoncé complet:


J'ai répondu à la question 1, 2a et 2b. Je bloque totalement à la question 2c, j'ai juste remarqué qu'elle pouvait s'écrire . Je me doute qu'on doit utiliser les résultats précédents mais impossible de les faire apparaître...
Pour la question 3, je ne suis pas sûr d'avoir compris tous les mots mais j'aurais dit que la valeur minimale était n/2. Je ne pense pas être capable de le démontrer mais ça me semblerait logique... A cet instant, cela signifierait que les termes seraient correctement ordonnés.

Pourriez-vous m'aider à répondre?

[SaintAmand]

Je bloque totalement à la question 2c, j'ai juste remarqué qu'elle pouvait s'écrire . Je me doute qu'on doit utiliser les résultats précédents mais impossible de les faire apparaître...

J'ai une solution très courte et plutôt simple. Je n'ai utilisé aucun des résultats des questions précédentes, mais je n'ai pas essayé.

Tu es bien parti. En factorisant le membre de gauche de l'inéquation ci-dessus, tu peux montrer qu'elle est équivalente à l'inéquation .

Maintenant remarque que l'inéquation à résoudre est invariante par le changement de variable . Il te suffit donc de résoudre l'inéquation sur .

Pour , est un polynôme en de degré 4. N'ai pas peur de le développer. C'est un polynôme palindromique (ou polynôme réciproque). Le changement de variable permet de se ramener à un polynôme de degré 2 en .

[Restefond]

Bonjour et merci beaucoup pour votre réponse!

J'ai peur de ne pas avoir vu quelque chose d'évident mais je ne suis pas parvenu à la factorisation dont vous me parliez... Du coup, j'ai factorisé d'une autre façon et je finis à un moment par tomber sur une équation réciproque, mais la résoudre à cet instant ne servait à rien. J'ai donc continué à développer mais je doute que je puisse m'en sortir mieux avec le résultat que j'obtiens...

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[SaintAmand]

J'ai peur de ne pas avoir vu quelque chose d'évident mais je ne suis pas parvenu à la factorisation dont vous me parliez...

Ouf ! Tu me donnes mal à la tête Regarde
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[Restefond]

Rebonjour!

Et voilà, je suis passé à côté de ça! J'aime souvent partir dans des trucs compliqués quand la réponse est toute simple... Merci pour votre indication!
Du coup, j'ai continué l'exercice, je suis bel et bien tombé sur une équation réciproque (je m'attendais à avoir celle de la question 1 mais...aucun lien!) qui se résout facilement. Je trouve donc au final comme valeur pour t, 1 et - 1.
En revanche, puisqu'on nous demande de résoudre l'inéquation, est-il correct de dire que S= ]-1;1[ ? J'ai un doute sur l'exploitation de ces deux valeurs au final.

Je vous remets ce que j'ai fait (j'ai essayé de clarifier les choses ^^')
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Est-ce correct selon vous?
En tout cas, quand je me dis que c'est l'exercice que notre professeur a donné pour son premier DS à ses Premières l'an dernier, je me demande si beaucoup ont réussi à terminer...

[SaintAmand]

Est-ce correct selon vous?

C'est pas mal. Mais:
1. l'écriture est à éviter; à gauche du symbole = vous avez un réel, et à droite un ensemble.
2. je ne suis pas sûr de comprendre ce que vous voulez dire par « puis t=-1 ». En effet vous cherchez les solutions de l'inéquation sur R+.
3. Ok pour les bornes de u. Toutefois l'inégalité est stricte donc ...
4. Il faut trouver les réels positifs t vérifiant
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[Restefond]

Merci beaucoup pour toutes vos remarques! C'est très gentil à vous de prendre sur votre temps pour m'aider!

1. C'était pour aller plus vite, je pensais à l'ensemble des solutions.
2. Comme l'inéquation est valable pour t et pour -t, je me disais qu'on devait trouver les deux valeurs (mais finalement, c'était un raisonnement totalement faux).
3. Oui, erreur de ma part, les valeurs doivent être exclues.
4. Voilà donc le résultat pour le moins surprenant auquel je parviens...

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Je sens que ça va être très drôles les Olympiades^^
Heureusement que c'est pas vraiment ce genre d'équations qu'ils demandent de résoudre parce que sinon, je n'aurais pas su quoi faire... Surtout que je me serais entêté à vouloir faire apparaître l'équation de la question 1...
Par ailleurs, je trouve mon résultat étrange tout de même...

[SaintAmand]

Merci beaucoup pour toutes vos remarques! C'est très gentil à vous de prendre sur votre temps pour m'aider!

Tu as vu à quoi ressemble un message type sur ce forum ? Je parie que ton prof ne doit pas être mécontent de t'avoir dans sa classe.

Avec l'inégalité arithmético-géométrique
,
tu pouvais écrire
.

Par ailleurs, je trouve mon résultat étrange tout de même...

Je suppose que tu trouves étrange qu'il n'y ait pas de solution. Pour te rassurer tu peux utiliser un grapheur pour représenter la fonction obtenue en transposant le second membre de l'inégalité.

[Ben314]

Salut,
A mon avis, vu les questions précédentes, je pense que ce qui était attendu, c'est de constater que l'inéquation donnée, une fois divisée par , s'écrit où avec .
L'inéquation en a pour solutions .
L'inéquation a pour solutions .
L'inéquation n'a pas de solution (vu précédement)

[Ben314]

Pour la question 3), il y a assez clairement une faute de frappe : est une permutation de et pas de (ce qui ne voudrait rien dire...)
Et cela signifie que les nombres , c'est exactement les nombres dans un ordre quelconque (on prend une et une seule fois chacun des nombres).
Par exemple est une permutation de et, pour cette permutation là, la somme S vaut .
Le but est de trouver comment ranger les nombres pour rendre la somme minimale.

En particulier, la "valeur minimale pour S", c'est surement pas 1/2 vu qu'une somme de différences de nombres entier, ben c'est un entier...

[Restefond]

SaintAmand : Merci^^
Il faut dire aussi que j'ai la chance d'avoir un prof de maths vraiment génial. C'est une matière que j'ai toujours trouvée passionnante (même si je ne suis pas exceptionnellement bon, comme en témoigne cet exo^^) et que le professeur que j'ai cette année rend toujours plus intéressante.
Je n'avais jamais pensé à la résolution de l'inéquation avec la méthode que vous utilisez, c'est très joli et original (encore faut-il y penser!).
Je suis un peu déçu finalement que cette longue inéquation n'ait pas de solution... Vu le temps qu'on y a passé, on aurait pu s'attendre à un résultat plus intéressant!

Ben314: Ca fait beaucoup de changement de variables^^ Bravo pour l'avoir trouvé!
Pour l'exercice de la permutation, je l'ai recopié tel qu'il était écrit, j'avais trouvé cela un peu étrange mais du coup, je m'était demandé si dans la liste [1,2n] qu'il proposait, il n'en prenait que la moitié, donnant alors un sens à la question. (Après, c'est la première fois que j'entends le mot "permutation" donc ce que je dis est sûrement aberrant!)
Du coup, je m'étais dit que la somme minimale pourrait être n-1. Regardez avec votre exemple en prenant 6,
|5-4|+|4-3|+|3-2|+|2-1|= 4 = 5 - 1
Il me semble que ce serait la meilleure façon pour obtenir une somme minimale. De sorte que les valeurs seraient rangées dans l'ordre croissant ou décroissant (donc ce n'est plus vraiment une "permutation" au sens propre).

[Ben314]

Normalement, en math, on parle de "permutation" pour des truc qui consistent uniquement à... permuter les objets, c'est à dire qu'on garde les mêmes objets, mais qu'on les met dans un ordre différents (en d'autre termes, ça s'appelle une "bijection", mais le mot "permutation" est plus souvent utilisé dans le cas d'ensembles finis)
En particulier, les garder "dans l'ordre", c'est bien une "permutation" au sens mathématique (que l'on appelle "identité")

Concernant ton exemple, ta somme n'est pas bonne : si tu regarde bien l'énoncé, la somme commence à |x2-x1| et se termine à |x(n+1)-xn| avec la précision que x(n+1) désigne en fait x1.
Cela veut dire qu'on somme les différence entre deux termes succesifs PLUS la différence entre le premier et le dernier.
Si on n'ajoutais pas ce terme suplémentaire, ça serait trop façile : il suffirait de dire que, pour rendre la somme minimale, on rend chaque terme le plus petit possible, c'est à dire égal à 1 (plus petite différence entre deux entier distincts)
Reregarde mon exemple qui se termine bien par |2-5| (i.e. le dernier moins le premier)

Tu doit trouver que le minimum, c'est 2(n-1), et la preuve repose surtout sur des considérations géométrique : |b-a| c'est la distance du réel a au réel b

[Restefond]

Bonsoir,

Merci pour ces quelques éclaircissement de vocabulaire.
Néanmoins, ça ne m'avance à pas tellement grand chose, j'ai juste essayé de tracer une droite graduée en regardant à quelles positions placer les nombres de telle sorte que les sommes des |x_(i+1) - x_i| soient les plus petites. De manière générale, je retombe sur ma considération selon laquelle ces nombres doivent bel et bien être placés dans un ordre croissant [1,2,3,...,n].
On obtient ainsi S = n - 1 + |1 - n| = n - 1 + n - 1 = 2(n - 1).
Je retombe sur le résultat que vous me proposez de démontrer mais je doute que ma solution de tracer une droite et de dire "On a qu'à essayer" et "Ca semble évident" soit satisfaisante^^

Est-ce-que vous auriez peut-être une petite piste?

[Ben314]

Disont que, pour le moment, tu as montré qu'on pouvait faire (façilement) une somme égale à 2(n-1).
Par contre, tu ne prouve pas que l'on ne peut pas faire moins : dans la somme que tu as fait, tu as pris les xi tels que la différence entre un terme et le suivant soit le plus petit possible, mais par contre la différence entre le premier et le dernier est trés grande donc c'est pas clair qu'on ne puisse pas faire mieux...

Donc je te réaffirme que 2(n-1), c'est effectivement le minimum, ce qui veut dire que c'est pas la peine de chercher plus petit que ça, tu trouvera pas.
Mais il faudrait démontrer que c'est effectivement le min de ce qu'on peut faire.
A la limite tu peut essayer des tas de cas pour voir si tu comprend lesquels donnent 2(n-1) : il n'y a pas que le cas dont tu parle, mais... des tas d'autres dont certains ne sont pas vraiment "dans l'ordre" : par exemple (2,1,3,5,4) ça donne aussi le minimum....
Si tu trouve exactement quelles sont les permutations qui donnent le min, tu sera pas loin de la réponse.

[Restefond]

Bonjour,

Excusez-moi pour mon retard!
Je n'ai pas tellement avancé pour ce problème, dans le sens où je ne parviens pas à trouver LA preuve. Par contre, je pense avoir identifié une autre permutation possible, selon le cas que n est pair ou n est impair (n = 2p ou n = 2p + 1).

n est impair. A cet instant, on considère la (p + 1)-ème valeur et on la place au centre de la permutation. On range les p premières valeurs dans l'ordre décroissant jusqu'à la (p + 1)-ème valeur puis on range après dans l'ordre décroissante les p suivantes.
Exemple: n = 7 donc une permutation possible est (3, 2, 1, 4, 7, 6, 5). La somme est 12.
Pour une permutation ou n est pair, on placerait les p premières valeurs puis les p suivantes mais dans l'ordre décroissant.
Exemple: n = 8 donc une permutation possible est (1, 2, 3, 4, 8, 7, 6, 5). La somme est 14.

Dans les deux cas, on observe donc qu'il y a une sorte d'effet de symétrie! L'objectif est de réduire les écarts extrêmes et donc x_(n+1) - x_1 est lui-même réduit (ce qui posait problème dans mon idée).

Pensez-vous que je puisse essayer de trouver une piste de démonstration à partir de ces considérations?

[SaintAmand]

Pensez-vous que je puisse essayer de trouver une piste de démonstration à partir de ces considérations?

Peut-être Représente les entiers de 1 à n sur une droite. Le problème revient à trouver la boucle la plus courte passant exactement une fois par chaque entier (à l'exception d'un seul). Il est bien évident qu'une telle boucle passe exactement deux fois « devant » chaque entier, et donc que sa longueur est égale à 2(n-1) ( (n-1) à l'aller, (n-1) au retour). la figure ci-dessous devrait te convaincre.

[El_Gato]

Disont que, pour le moment, tu as montré qu'on pouvait faire (façilement) une somme égale à 2(n-1).
Par contre, tu ne prouve pas que l'on ne peut pas faire moins : dans la somme que tu as fait, tu as pris les xi tels que la différence entre un terme et le suivant soit le plus petit possible, mais par contre la différence entre le premier et le dernier est trés grande donc c'est pas clair qu'on ne puisse pas faire mieux...

Donc je te réaffirme que 2(n-1), c'est effectivement le minimum, ce qui veut dire que c'est pas la peine de chercher plus petit que ça, tu trouvera pas.
Mais il faudrait démontrer que c'est effectivement le min de ce qu'on peut faire.
A la limite tu peut essayer des tas de cas pour voir si tu comprend lesquels donnent 2(n-1) : il n'y a pas que le cas dont tu parle, mais... des tas d'autres dont certains ne sont pas vraiment "dans l'ordre" : par exemple (2,1,3,5,4) ça donne aussi le minimum....
Si tu trouve exactement quelles sont les permutations qui donnent le min, tu sera pas loin de la réponse.

Je ne pense pas... Prenez par exemple la permutation Identité . Alors la somme vaut .

[SaintAmand]

Prenez par exemple la permutation Identité . Alors la somme vaut .

Non, la somme vaut bien 2(n-1). Vous avez lu l'énoncé un peu trop vite.

[Restefond]

Bonjour!

Personnellement, je trouve que l'utilisation de la droite est excellente comme démonstration puisque en soit, ça nous montre le chemin le plus court (le chemin est direct et il n'y a pas de recul). Après, je suis juste un élève de Première S alors je me demande si ce genre de démonstration serait convenable dans une copie, par exemple. Mais puisque je n'y arrive pas en utilisant le symbole Sigma, je pense que oui.
C'était un exercice bien intéressant! Désolé de vous avoir fait dire la réponse finalement^^

Aujourd'hui, c'étaient les Olympiades Académiques de maths! Je trouve que le sujet était assez étrange, ça ne ressemblait absolument pas à ce à quoi je m'étais préparé. Il était question de:
- Un problème de figures d'équilibre: droites et points marqués, (national)
- Le chemin le plus court, dans un carré pour relier les quatre sommets, (national)
- Un exercice court de probabilités sur un jeu de pièces, (Paris)
- Un problème sur un éventail avec hexagone et pentagone. (Paris)
J'ai trouvé qu'il y avait trop de géométrie dans le sujet, j'ai du utiliser à peu près une dizaine de fois le théorème de Pythagore pendant l'épreuve =D
Et je me suis rendu compte en rentrant que j'avais pas terminé ma démonstration pour la dernière question de l'exercice 1! Et du coup, j'ai fait un contre-sens! Et je n'ai pas touché aux probabilités vu qu'on ne les avait pas encore abordées. Enfin bon, c'était intéressant quand même!

[flashnext]

À ce qui paraît elles étaient bien dure ces olympiades..