Endomorphisme

[jonses]

Bonjour,

J'essaye de faire un exercice sur les applications linéaires mais je suis bloqué depuis hier dessus :

-

Soit un -ev de dimension finie n. Soit

Soit l'application linéaire de de dans qui à tout associe

Je dois en donner le noyau... et le rang !

-

Bon pour le noyau :


Mais alors pour le rang.... je vois pas.

J'ai vite laissé tomber par la méthode directe (déterminer directement )


J'ai essayé de déterminer la dimension de , en explicitant cet espace.

Mais j'aboutis à des calculs inextricables :
j'ai essayé, dans une base fixée de E, de déterminer la matrice d'un élément de pour voir à quoi ressemble cet élément, mais j'ai vite abandonné
J'ai aussi essayé de voir à quoi ressemble un élément du noyau dans une base de , mais en vain.
J'ai tenté de raisonner par les dimensions (sur et les éléments du noyau).... je vous cache pas que j'aboutis nulle part, au mieux je retombe sur ce qui est en soi pas une grande découverte...


Si quelqu'un peut me donner une petite indication svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[wserdx]

Essaie de trouver une base de adaptée à ton problème (en fonction de ).
Quelle est la dimension de ?

[Rha]

Bonsoir,

Je ne sais pas si tu as déjà croisé ceci:

Etant donnée une base de , la famille des est une base de .
Si est bien choisie, on peut parfois trouver les bases d'endomorphismes de qui font intervenir certaines applications.

Je te fais un exemple: pour fixée, je cherche l'image de l'endomorphisme de qui à associe .
Si on choisit une base de dont les premiers constituent une base de , en écrivant , il existe un endomorphisme tel que .
Soit . .

Donc pour . .
C'est-à-dire que les sont nuls, et donc les sont nuls.
Ce qui fait que , qui est de dimension .

Réciproquement, soit .
donc il existe tel que .
On pose . Pour , et pour , donc , ce qui fait que génère l'image de .


En gros c'est une question de savoir ce qui est envoyé dans quoi, et l'essentiel est d'avoir pensé à la bonne base (en gros, base de Ker(f) qu'on complète, ou base de Im(f) qu'on complète).

[Doraki]

Bonjour,

J'essaye de faire un exercice sur les applications linéaires mais je suis bloqué depuis hier dessus :

-

Soit un -ev de dimension finie n. Soit

Soit l'application linéaire de de dans qui à tout associe

Je dois en donner le noyau... et le rang !

-

Bon pour le noyau :


Mais alors pour le rang.... je vois pas.

Il suffit juste d'appliquer le théorème du rang à f en sachant en outre que dim(L(X,Y)) = dim(X)*dim(Y)

[jonses]

Merci !

Donc, il fallait bien passer par l'introduction de bases et par des calculs pas simples.
Je vais repartir sur cette voie, merci encore

[Rha]

Il y a peut-être d'autres façons de faire, parfois on trouve des isomorphisme avec des espaces vectoriels plus sympa, mais on ne peut pas non plus court-circuiter tous les arguments.

Cette méthode ne demande pas de faire des calculs compliqués, du moins pas dans cet exemple ou dans ton exercice; c'est simplement la formalisation de l'idée de base (qui ici est que l'image d'un élément de l'image de est incluse dans l'image de ) qui peut difficilement se faire sans écrire quelques indices .

[Ben314]

Bon pour le noyau :
J'ai vite laissé tomber par la méthode directe (déterminer directement )

Pourtant, , c'est l'ensemble des tels que et c'est pas pas bien difficile à montrer.

Mais, effectivement, ça sert à rien vu qu'avec la dimension de (et celle de ), ça suffit...

Aprés, le truc, c'est juste de calculer la dimension de , mais là, c'est pas dur en utilisant la remarque de doraki...