Montrer qu'une Application linéaire est un isomorphisme

[sticksman2]

Bonsoir à tous,
Je suis en ECS (1ère année) et j'ai vraiment du mal avec les applications linéaires, particulièrement avec ce genre d'exercice :

E= , F= , et f(P)= (P(1),P'(1),P''(1))

Montrer que cette application est un isomorphisme et donner son isomorphisme réciproque.

En fait j'ai vraiment du mal à trouver la méthode de cheminement pour la résolution.
Au départ j'ai essayé d'utiliser le fait que f est isomorphe si f est surjective+ injective donc ker f= et Im f= F, mais très vite je n'ai pas su comment avancer.

merci de votre aide :happy2:

[barbu23]

Bonsoir,

Tu essayes de montrer d'abord que est linéaire, ensuite, tu cherches la matrice de relativement à la base canonique de , et tu montres que son déterminant est non nul, et tu cherches à la fin son inverse.

Cordialement.

[jonses]

Salut,

Plus simplement :

1) tu montres que est linéaire (facile)

2) Tu montres que et pour ça c'est assez simple

Si est un polynôme de degré inférieur ou égal à 2 qui est dans alors

c'est-à-dire donc 1 est une racine de de multiplicité au moins égal à 3.

Mais P est de degré inférieur ou égal à 2, et donc...

3) Puis après avoir montré tu utilises la formule du rang et tu peux assez vite conclure

[sticksman2]

Merci Jonses j'y voit déjà plus clair !
Par contre une fois que j'ai prouvé que c'était un endomorphisme, comment calculer la réciproque d'un endomorphisme ?
je sais qu'il faut utiliser f o = I, mais je me perd un peu avec l'utilisation du polynôme annulateur : j'ai cherché a, b, c tels que P(x) = 0 et trouvé a=b=c=0, mais je ne sais pas vers où aller ensuite...

[jlb]

Salut, tu te donnes (a,b,c) et tu cherches (x,y,z) tel que P(X)=xX²+yX+z vérifie P(1)=x+y+z=a, P'(1)=2x+y=b et P''(1)=2x=c Tu résous ce système pour exprimer x,y,z à partir de a,b et c

et donc tu as l'expression de l'inverse