Espérance nombre de lancers

[louismarianne]

Bonjour à tous.

J'ai un exercice a faire, le voici :

On lance une pièce de monnaie de façon répétée jusqu’à ce que l’on obtienne au total ,soit 1 fois pile , soit 4 fois face. Quel l'espérance du nombre de lancers nécessaires ?


***

J'avais pensé a faire :

premier lancer = P
deuxieme lancer= FP
trosieme lancer = FFP
quatrieme lancer = FFFP
cinquieme lancer = FFFFP
les conditions sont réalisées, on calcule la proba de chaque lancer. Puis l'espérance
E=p1*nombre de lancers + … + pn*nombre de lancers

E = 0.5 + 0.25*2 + 0.0625*3 + 0.015625*4 + 0.00390625*5 =1.31

Mais sur un autre forum une personne m'a dit :

p
FP
FFP
FFFP
FFFF

16E = 8 + 4 + 6 + 8 = 26 <==> E = 13/8 ... je dirais ....

Je ne comprends pas son raisonnement.

Quelqu'un peut il m'éclaircir ?

Bonne journée et merci

[Sylviel]

En fait au 4ème lancé tu es sûr que ce sera terminé, pas besoin de 5ème...

[louismarianne]

En fait au 4ème lancé tu es sûr que ce sera terminé, pas besoin de 5ème...

Donc mes 4 issues sont :

p
FP
FFP
FFFP
FFFF

et mon espérance est :

E = 0.5 + 0.25*2 + 0.0625*3 + 0.015625*4 ?

Je ne comprend pas son 16E = 8 + 4 + 6 + 8 = 26 E = 13/8

[Sylviel]

Ce n'est pas encore les bons termes. Tu devrais laisser des puissances de 2, ce serait plus clair.

Pour son approche : il considère que tu lance 4 pièces puis regarde, sur toutes les combinaisons possibles, celles qui correspondent à un arrêt au premier coup, au second, au troisième puis au quatrième.

[louismarianne]

En laissant les puissances de 2 j'ai :

E = 0.5 * 1 + 0.5^2 * 2 + 0.5^3 * 3 + 0.5^4 * 4

Et je trouve comme lui

[Sylviel]

sauf qu'il y a une erreur.

Si ça c'arrête au bout de 4 lancer tu n'as compté que l'un des deux cas.

[louismarianne]

Je ne comprend pas tu m'as dit que que je n'ai que 4 lancers pas besoin d'un cinquième.

Pour toi E = 0.5 * 1 + 0.5^2 * 2 + 0.5^3 * 3 + 0.5^4 * 4 + 0.5^5*4 ?

[Sylviel]

Non... à quoi correspond 0.5 ^5 ???

Proba que ça s'arrête en 1 lancer : 0.5 (P***)
Proba que ça s'arrête en 2 lancers : 0.5² (FP**)
Proba que ça s'arrête en 3 lancers : 0.5^3 (FFP*)
Proba que ça s'arrête en 4 lancers : 0.5^4 (FFFP) + 0.5^4 (FFFF)