Devoir maison nombres complexes et suites

[mmargaux]

Bonjour, je dois rendre un DM pour la rentré. Malheureusement, je suis bloquée sur certaines questions. Voici le sujet :
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O;u,v). On prendra pour unité graphique 4 cm.
On pose z0 = 2 et, pour tout entier naturel n, zn+1=(1+i)/2*zn. On note An le point du plan d'affixe zn.

1.Déterminer les formes algébriques et exponentielles de z0, z1, z2, z3, z4.
Placer les points A0, A1, A2, A3 et A4 sur une figure. et on admet que : z5=-1/4-1/4i.

2.Pour tout entier naturel n, on pose : an=arg(zn)
a. Interpréter goémétriquement an. En utilisant le graphique, conjecturer une relation entre an+1 et an.
b.Démontrer que (an) est une suite arithmétique; en déduire que, pour tout entier naturel n, on a : an=n*pi/4

3. Pour tout entier naturel n, on pose dn = |zn|.
a. Démontrer que dn est une suite géo de raison racine carré de 2/2, puis exprimer dn en fonction de n. Déterminer la limite de la suite dn.
b.Interpréter géographiquement dn, puis les résultats de la question a.

4. Déduire des questions précédentes la forme trigo et algé de z18.

5.a.Quelle semble etre la nature des triangles OAnAn+1?
b.Déterminer la forme algé, puis trigo du quotient : (zn+1-zn)/zn+1 (n étant un entier naturel quelconque).
c. En déduire, pour tout entier naturel n, la nature du triangle OAnAn+1.

6.Un prolongement:
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on pose ln=An-1An
Démontrer que, pour tout entier naturel non nul, on a ln+1=2/2ln. Exprimer ln en fonction de n.


Pouvais vous m'aider à la 5.b, svp ?

[capitaine nuggets]

Salut !

5.a.Quelle semble etre la nature des triangles OAnAn+1?
b.Déterminer la forme algé, puis trigo du quotient : (zn+1-zn)/zn+1 (n étant un entier naturel quelconque).

Pour tout , donc exprime le quotient sous la forme , où et désignent deux réels quelconques.
(A titre informatif, que trouves-tu pour la 5.a. ?)

[capitaine nuggets]

Salut !

5.a.Quelle semble etre la nature des triangles OAnAn+1?
b.Déterminer la forme algé, puis trigo du quotient : (zn+1-zn)/zn+1 (n étant un entier naturel quelconque).

Pour tout , donc exprime le quotient sous la forme , où et désignent deux réels quelconques.
(A titre informatif, que trouves-tu pour la 5.a. ?)