Carré parfait

[beta97]

salut tout le monde
soit An=444...488..89 [n fois le chiffre 4 ,(n-1) le chiffre 8 et une fois le chiffre 9]
montrer que An est un carré parfait

[WillyCagnes]

bjr
pour la beauté des nombres curieux

7² = 49
on intercale 48
67²= 4(7²-1)9 = 4(48)9= 4489

667²= 44(48)89
6667² =444(48)889
66667²=4444(48)8889
...

[Black Jack]

Alternative :

An=444...488..89 [n fois le chiffre 4 ,(n-1) le chiffre 8 et une fois le chiffre 9] (et donc n >= 1)

An = 4*(1 + 10 + 10² + ... + 10^(n-1)) * 10^n + 8 * (1 + 10 + 10² + ... + 10^(n-2)) * 10 + 9

Mais 1 + 10 + 10² + ... + 10^(n-1) est la somme de n termes en progression géométrique de raison 10 et de 1er terme = 1 -->
1 + 10 + 10² + ... + 10^(n-1) = (10^n - 1)/(10-1) = (10^n - 1)/9

Pareillement : (1 + 10 + 10² + ... + 10^(n-2)) = (10^(n-1) - 1)/9

An = 4 * (10^n - 1)/9 * 10^n + 8 * (10^(n-1) - 1)/9 * 10 + 9

An = (4/9) * [(10^n - 1) * 10^n + 2 * (10^(n-1) - 1) * 10] + 9

An = (4/9) * [10^(2n) - 10^n + 2 * 10^n - 20] + 9

An = (4/9) * [10^(2n) + 10^n - 20] + 9

An = (4/9) * [10^(2n) + 10^n - 20 + 81/4]

An = (4/9) * [10^(2n) + 10^n + 1/4]

An = (4/9) * (10^n + 1/2)²

An = (1/9) * (2.10^n + 1)²

An = [(2.10^n + 1)/3]²

Or N = 2.10^n + 1 , N commence par le chiffre 1 suivit de (n-1) zéros et finit par un 1, donc la somme des chiffres de N vaut 3 ... et N est, par conséquent, multiple de 3.

On a donc (2.10^n + 1)/3 est un entier ---> An est un carré parfait.

:zen:

[Ben314]

Autre alternative :

[Ben314]

Autre alternative :

et, en soustrayant, on en déduit que
avec chiffres '0' entre les deux '4' et entre le '4' et le '1'
Donc est un carré parfait donc aussi.

[WillyCagnes]

Merci à tous les deux pour la belle demonstration!
willy

[beta97]

des merveilleuses demonstrartion .merci pour vous les trois. :ptdr: