Equation et suite

[bbop]

Bonjour tout le monde ! Je suis en prépa bio et je bloque à un exo de math..

L'énoncé :
1)Montrer que pour tout n>=3, x^n+x²+2x-1=0 a une unique solution notée u(n).
j'ai procédé par récurrence, j'ai réussi l'initialisation pour n=3 mais pour l'hérédité je bloque..
2) Montrer que u(n) est croissant est minorée par 1/2
Vu que j'ai pas réussi la 1)...

Quelqu'un pourrait me filer un coup de main? :we:

[Sa Majesté]

Ça va être compliqué vu que c'est déjà faux pour n=4
x^4+x²+2x-1=0 admet 2 solutions (-1.18 et 0.404 environ)

[Ben314]

Sinon, avec le a à la place du 1, ça tente personne ?

Enoncé complet :
Soit fixé.
1) Montrer que, pour tout , l'équation admet une unique solution positive que l'on note .
2) Déterminer (en fonction de ) la limite de la suite

[Frede]

L'équation peut s'écrire

ou

Donc une racine ayant une grande valeur, par exemple x=25 est exclue car si n>3, x à la puissance 4 par exemple ne peut pas être égal à -(x-1)^2

Mais l'équation peut aussi s'écrire:

ou

Or ne peut être négatif que si x est négatif et n impair.

On peut aussi écrire:


De plus, dans toute équation de degré n, le dernier terme, (ici: -1) est le produit des racines.

J'avoue ne rien voir de plus ce soir, mais peut-être que ça peut t'aider à démarrer.

[Ben314]

Et calculer la dérivée de pour étudier les variation de sur , ça serait pas un tout petit peu plus simple (et plus juste aussi vu que dés le départ, je crois bien que (x-1)², ça fait pas x²+2x-1...)

[Frede]

Ouais, calculer la dérivée, ça peut apporter quelque chose mais il faut prendre la dérivée seconde pour arriver à trouver des racines et ensuite voir si la dérivée est croissante. Je ne vois pas comment aller plus loin. Elle est pas marrante ta solution.

Je reconnais qu'il y avait comme une petite erreur dans le fait d'avoir vu dans x²+2x-1 le développement de (x-1)². Quel dommage, c'était si sympa !

J'ai vérifié que pour n=4, il y a bien 2 solutions. C'est troublant. Peut-être faut-il modifier l'énoncé et dire n>=5.

Tant pis, je persiste dans mon système. J'écris la fonction

.
Si elle vaut 0, c'est que
Il faut que soit négatif, ce qui implique que .

Bon, tout ça n'apporte pas grand-chose, je le reconnais. Ça m'intéresserait quand même de savoir ce que tu entrevois comme limite de u(n). Puisque n devient de plus en plus grand et que reste inférieur à 2, je dis 0. C'est bien ça ?

[SaintAmand]

1)Montrer que pour tout n>=3, x^n+x²+2x-1=0 a une unique solution notée u(n).

Soit la fonction définie sur par .

L'existence d'une solution de l'équation se déduit du théorème des valeurs intermédiaires appliqué à la fonction sur l'intervalle .

L'unicité résulte de la strictement monotonie de la fonction (pas besoin de dériver).

2) Montrer que u(n) est croissant est minorée par 1/2

La croissance de la suite résulte de la décroissance de la suite pour tout .

[Robic]

Ouais, calculer la dérivée, ça peut apporter quelque chose mais il faut prendre la dérivée seconde pour arriver à trouver des racines et ensuite voir si la dérivée est croissante. Je ne vois pas comment aller plus loin. Elle est pas marrante ta solution.

Oui mais là tu supposes que l'énoncé est juste, or il est faux. Si, comme le soupçonne Ben314, il faut se limiter aux x positifs, alors sa méthode est on ne peut plus simple : la dérivée suffit, et la réponse se voit aussitôt. (Et SaintAmand a raison : même pas la peine de dériver, on voit qu'on a une somme de fonctions croissantes.)

Maintenant, est-ce que son soupçon est justifié. Oui : par la deuxième question ! La suite ainsi définie est sensée être majorée par 1/2, donc il s'agit de la solution positive. (Oui, je sais, bbop a dit « minorée ». Mais bbop est distrait : si la suite était croissante minorée, on ne pourrait rien en conclure. Or il est facile de démontrer que la suite est majorée par 1/2 donc c'est sûrement ce qu'il voulait dir.)

(C'est un nouveau jeu : reconstituer l'énoncé correct... :ptdr: )

[bbop]

Oui j'étais un peu distraite haha vous avez raison !
Pour le 1à) c'est bien une solution dans R+ et puor le 2) c'est bien croissante et majorée par 1/2 ! :ptdr:

Mais enfaite je ne vouis pas comment déduire la monotonie de u(n) et sa majoration en fonction de f(x)=x^n+x²+2x-1.. Enfin proprement ! Et je ne vois pas comment le déduire du tableau de la question 1)..
Saint Amand :

La croissance de la suite (u_n) résulte de la décroissance de la suite (f_n(x)) pour tout x\in[0,1/2]

Mais moi je trouve que la focntion fn(x) est croissante......

[Robic]

La majoration n'est pas difficile. Place dans le tableau de variation la valeur x = 1/2 et son image par f. Tu constates que f(0) est négatif mais f(1/2) est positif, donc la racine est forcément comprise dans l'intervalle [0 ; 1/2], autrement dit u_n est compris entre 0 et 1/2.

Le fait que la suite (u_n) est croissante est plus difficile et se prouve comme l'a dit SaintAmand. Attention : la fonction f_n est en effet croissante mais la suite (f_n(x)) est décroissante. Ne confonds pas les deux :
- La fonction f_n est une fonction qui, à tout x, associe f_n(x). (Et d'ailleurs f_n(x) n'est pas une fonction, c'est un nombre !).
- La suite (f_n(x)) est la suite f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x)... où x est fixé. C'est une suite de nombres (d'images du même antécédent par les f_n successifs).

Pour comprendre comment ça marche, tu peux par exemple prouver que pour tout x entre 0 et 1/2 on a . Ça signifie que la courbe de la fonction est en-dessous de la courbe de la fonction sur l'intervalle [0 ; 1/2]. Fais un dessin : tu verras alors que la racine de est forcément plus grande que celle de .

[deltab]

Bonjour

Frede
L'équation peut s'écrire

ou

Erreur.
L'équation
ne peut s'écrire sous la forme:

mais sous la forme

qu'on peut écrire pour n pair sous la forme:

et on est piégé, le 1er facteur n'admet pas de racines et le 2nd facteur se ramène à l'équation donnée.

[bbop]

Ca y est j'ai compris ! Pour démontrer la monotonie j'ai fait comme ça :
< car pour tout x [0;1/2], . Donc la fontion décroit plus vite que la fonction et donc la racine de TEX]f_n[/TEX] sera plus grande que la racine de d'ou la suite u(n) est croissante !

A la dernière question il demande la limite de la suite (oui je suis étourdie je l'ai oubliée..). J'aurais dit que cette suite u(n) tend vers 0 quand n tend vers + mais je ne saurais pas comment le prouver !

[Robic]

Deltab : tu devrais lire les messages précédents... :lol3:

bbop : ton raisonnement est faux puisque les fonctions f_n ne sont pas décroissantes. (Tu as probablement compris l'idée mais tu l'exprimes mal). Pour démontrer que , il n'y a pas aussi des n et des n+1 à gérer ?

Sinon, u_n est croissante et majorée par 1/2, donc elle ne va pas tendre vers 0 ! (Ça, c'est si elle était décroissante et minorée). Peut-être qu'elle tend vers 1/2 ? Dans beaucoup d'exercices, quand on trouve un majorant, c'est la limite. En fait, si la suite tend vers l, alors f_n(l) tend forcément vers 0 (puisque u_n est la racine). Donc une idée pourrait être de chercher un x tel que f_n(x) tende vers 0 (mais je n'ai pas essayé).

[bbop]

Robic j'ai trouvé quelque chose comme ça !
E [0;1/2] or la limite de u(n) va dépendre du terme prépondérent de fn(x) soit x^n
J'ai pris 2 suites w(n) = 0^n =0 et v(n)=(1/2)^n

J'ai encadré u(n) et utilisé le théorèùme des gendarmes et je trouve bien zéro !

[Robic]

Oui mais ça ne doit pas faire 0 ! (Ne lis pas trop vite mes réponses, je les modifie quand il y a des erreurs... ) J'ai essayé quelque chose mais ça ne marche pas.

Ah si ça marche, j'avais fait une erreur de signe !

Voilà l'idée intuitive : on cherche un nombre l compris entre 0 et 1/2 qui est la racine (positive), en quelque sorte, de . Comme est nul (vu que x est compris entre 0 et 1/2), notre nombre l est la racine (positive) de . La racine d'un trinôme est facile à calculer, ici on trouve . C'est sûrement la limite cherchée.

Reste à rédiger une vraie démonstration, par exemple en remplaçant mes infinis par des limites. (Mais le plus intéressant, je trouve, c'est de comprendre le raisonnement qui mène à découvrir cette limite...)

[deltab]

Bonjour.

Deltab : tu devrais lire les messages précédents... :lol3:

C'est pour ça que je viens d'effacer mon message.

[Ben314]

Pour la limite des (on sait qu'elle existe), je rappelle que, par définition de , on sait que, pour tout n,

Aprés, si tend vers alors tend "bètement" vers .
Mais vers quoi tend ?
Conclusion.

[deltab]

Bonjour

Deltab : tu devrais lire les messages précédents... :lol3:

C'est pour ça que j'ai effacé mon 1er message.

Si on récapitule le tout:
1- les fonctions sont strictement croissantes sur (comme somme de 2 fonctions strictement croissantes en l'occurrence et (SaintAmand).
2- L'existence de la solution de dans [0,1/2] est assurée par la continuité de et et dans ce cas . L'unité elle est assurée par la stricte croissance de la fonction (SaintAmand)
3- Pour tout (bbop)

Si (u_n) est décroissante on aura pour tout

Si , on aurait eu
Si , alors ce qui donne ou mais ni ni ne sont solutions de .

Reste à conclure ce qui ne pose plus de problèmes.

[Ben314]

Une fois que tu as montré que
1) La suite de fonction fn est décroisssante (sur [0,1])
2) Chaque fonction fn est strictement croissante (sur [0,1])
Il te suffit d'écrire que
1)
et la stricte croissance de te permet d'en déduire que
(l'idéal, c'est de faire un dessin avec les courbes des fonction fn et f{n+1} pour voir que... c'est trivial...)

[Robic]

Ah, il n'y a pas que moi. Oui : il faut faire un dessin ! faire un dessin ! faire un dessin ! Et on comprend comment ça marche.