La beauté mathématique

[Hix]

J'ai été confronté il y a quelques jours à des sommes bizarres et inattendus et je m'en suis convaincu en comprenant leurs démonstrations et que j'aimerais partager avec vous :
https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww&feature=c4-overview&list=UUoxcjq-8xIDTYp3uz647V5A
et pour la démonstration de S1 = 1-1+1-1+1-1..
https://www.youtube.com/watch?v=PCu_BNNI5x4

[Ben314]

Ça, c'est ce "Le retours de baton" : quand Cantor (au début du 20 em sciècle) a commencé à travailler avec des infinis "actuels", il a été conspué par pas mal de matheux considérant que l'infini ne pouvait être que "potentiel" et pas "actuel" (impensable de dire qu'il y a autant de points dans un segment que dans un carré...)

Quelque temps plus tard (aujourd'hui en l'ocurence...) retour de balancier dans l'autre sens, la façon dont on enseigne les math fait comme si l'infini était un truc totalement "banal" (style "un réel c'est un nombre avec une infinité de chiffres aprés la virgule... :cry:")
Résultat : des types qui sont étonnés par 1=0.99999... (avec une INFINITE de 9 et en général pas une seule question du style "ça veut dire quoi une infinité de 9 ?") ou qui acceptent sans sourciller (et surtout sans demander de DEFINITION de ce que ça veut dire) qu'on ajoute une infinité de nombres...

De tels truc n'aurait absolument paru "paradoxal" il y a un siècle (mais uniquement incohérent dés le début...)

[Alasdair]

Comme le dit Ben, il faut se poser des questions sur le sens de ce que tu manipules avant de s'amuser avec. Comment définirais-tu proprement ce S1 ? En prenant la somme partielle on se rend compte que l'on ne peut définir S1 comme la limite de puisque cette dernière est divergente (i.e. la limite n'existe pas). On peut noter que 0.9999... peut-être au contraire proprement définie puisque la somme est convergente.

Je trouve les auteurs de la vidéo de mauvaise foi de ne pas informer qu'il y a de gros problèmes dans ce qu'ils font. A partir du moment où on s'autorise à manipuler ces objets non définis avec nos opérations usuelles (alors que leur "=" et leur "+" on un sens différent du sens usuel) on peut montrer tout et n'importe quoi (comme la somme des entiers est égale à -1/12 ou encore un autre nombre, et donc en somme que 0=1). On peut dire que le bon sens des personnes ayant vue cette vidéo devrait leur faire prendre conscience qu'il y a anguille sous roche, et donc les emmener à découvrir par eux même ce qui cloche et comment les choses devraient être, mais je pense que peu de personnes feront cet effort et que globalement cette vidéo désinforme plus les gens qu'autre chose.

Pour en revenir au -1/12 (que l'on retrouve dans le bouquin de physique qu'ils mentionnent... sacrés physiciens et leurs notations ;p) il est intéressant de noter qu'il ne vient pas de nulle part. En effet, si on regarde la fonction zêta de Riemann qui est définie pour s nombre complexe tel que Re(s) > 1, celle ci admet un prolongement analytique (c'est à dire une fonction infiniment dérivable qui est égale à la fonction de Riemann sur son domain de définition) qui est lui défini sur privé de 1. Et donc si on note ce prolongement analytique , alors on peut regarder qui est égal à -1/12, et qui nous fait penser à cette somme des entiers...

Il serait intéressant de voir si on peut rendre leurs calculs cohérents via un morphisme entre l'espace où serait défini ces objets étranges et l'espace des réels (par exemple définis comme une suite de réels et une suite de signe, et à voir comment marchent les lois de composition internes de cet espace). Peut-être qu'une fois tout ça correctement défini, on peut avoir un joli théorème reliant tout ça avec les prolongements analytiques de certaines fonctions. Il y a-t-il quelque chose de ce genre qui existe ?

[Hix]

Je vous remercie d'apporter des éclaircissement sur ce sujet. Je n'ai franchement rien compris à certaines formules que vous avez utilisé j'ne suis qu'un élève de terminal amateur fasciné par la beauté de ces sommes.
Sinon il y a en effet d'autre truc de ce genre: A la fin de ce lien il y a une dizaine de somme http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_1_%2B_1_%2B_1_%2B_%E2%8B%AF

[Alasdair]

Je vous remercie d'apporter des éclaircissement sur ce sujet. Je n'ai franchement rien compris à certaines formules que vous avez utilisé j'ne suis qu'un élève de terminal amateur fasciné par la beauté de ces sommes.
Sinon il y a en effet d'autre truc de ce genre: A la fin de ce lien il y a une dizaine de somme http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_1_%2B_1_%2B_1_%2B_%E2%8B%AF

Oui, le lien correspond à ce que j'expliquais avec les prolongements analytiques. Et pour ce que tu ne comprend pas, n'hésite pas à poser des questions sur ce quoi tu bloques.

Attention quand même à ces sommes, pour moi si il y a une chose à retenir de cette vidéo ça serait "ces gars là racontent n'importe quoi", même si il y a une ombre de vérité bien cachée par dessous.

[Hix]

Pour l'instant je prépare mon bac , je visite ces genres de vidéos et sites que pour élargir mes connaissances en arithmétique et cette chaine Numberphile m'en a pas mal données . Je me consacrerai totalement au math des supérieurs pendant l'été et j'hésiterai pas à poser des questions et merci.

[nodjim]

Pour les plus aiguisés sur la question de l'infini, un petit problème de mon cru posé il n'y pas longtemps sur un autre site:

Un champion sauteur fait 10 secondes au 100 m, mais il ne court pas, il saute et il se fatigue vite: sa vitesse linéaire est constante, mais il saute à chaque fois la moitié de la distance qu'il lui reste à faire.
Au bout de 10 secondes pile, il repart dans l'autre sens, et cette fois fait des sauts en doublant la distance à chaque saut. Retombera t il exactement au point du trajet aller ?
Même question s'il repart au bout de 11 secondes, c'est à dire 1 seconde après qu'il soit arrivé au but.

[paquito]

J'ai été confronté il y a quelques jours à des sommes bizarres et inattendus et je m'en suis convaincu en comprenant leurs démonstrations et que j'aimerais partager avec vous :
https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww&feature=c4-overview&list=UUoxcjq-8xIDTYp3uz647V5A
et pour la démonstration de S1 = 1-1+1-1+1-1..
https://www.youtube.com/watch?v=PCu_BNNI5x4

Quand on travaille avec des séries non absolument convergentes ou pire divergentes, on peut s'attendre à n'importe quoi.
Exemple: 1-1/2+1/3+.....+(-1)^(n+1)/n -> +inf.

[Ben314]

Un champion sauteur fait 10 secondes au 100 m, mais il ne court pas, il saute et il se fatigue vite: sa vitesse linéaire est constante, mais il saute à chaque fois la moitié de la distance qu'il lui reste à faire.
Au bout de 10 secondes pile, il repart dans l'autre sens, et cette fois fait des sauts en doublant la distance à chaque saut. Retombera t il exactement au point du trajet aller ?
Même question s'il repart au bout de 11 secondes, c'est à dire 1 seconde après qu'il soit arrivé au but.

Autant sur "l'aller", c'est assez clair (c'est du style de Achile et la tortue) autant au retour, c'est pas clair du tout : je sais sommer un truc qu'on écrit vulgairement avec des points de suspension à la fin (en fasait la somme de 1 à n puis en regardant ce qui se passe quand n tend vers l'infini) mais je ne vois pas comment faire le moindre calcul partant d'une somme qui commence par des points de suspension, où alors je la somme en partant de la fin et dans ce cas il faut connaitre le point d'arrivé du coureur.

Donc en ce qui me concerne, je pense que (au minimum...) il manque une information concernant le parcours retour pour que ça soit cohérent comme énoncé...

[paquito]

De toutes façons au retour il apparaîtra une suite géométrique divergente donc le nombre de sauts ne peut être que fini et le premier saut devra être de la forme 100/(2^(n+1)-1) où n désigne le nombre total de sauts au retour. Donc il faut connaître le 1° saut pour pouvoir répondre.

[adrien69]

J'étais tombé sur ce truc il y a peu. Quand j'ai dit à ma copine (en KHBL) "je peux te montrer que la somme de tous les entiers naturels vaut -1/12" elle m'a répondu "Oui ! Je connais ! J'ai vu ça en cours !"

Ah...

[adrien69]

D'ailleurs,

http://sciencetonnante.wordpress.com/2014/01/20/le-scandale-des-series-divergentes/

C'est intéressant à partir de "stabilité, linéarité, régularité"

[nodjim]

Je ne vois pas très bien en quoi il manque une donnée.
Au bout de 10 secondes pile, c'est à dire à l'arrivée, il fait demi tour. Je vais juste corriger une petite chose: il fait dans le sens retour des sauts tels que chacun d'eux a une longueur égale à la distance qui le sépare du pt d'arrivée. On a donc toutes les données pour répondre, il me semble.