Intégrale comprenant des polynômes.

[Sheeppowa]

Bonsoir à tous, j'ai un problème concernant une intégrale:

Voilà tout d'abord les hypothèses et autre données.

, ( les bornes sont -1 et 1, désolé pour le problème d'affichage )

On pose : ,

On me demande de montrer que
On me donne également comme indication qu'il faut que j’intègre par parties pour obtenir une expression dans laquelle P et Q jouent le même rôle.

Dans mon cours il stipule que si on a un truc du genre de racine niéme, on pose u=cela, mais ici on obteint :



De plus en remplacant les et tout ça, on a tellement de terme.. De même que pour les polynômes, comment cela se passe-t-il ? On doit noter
Je n'arrive pas à m'en sortir même avec l'indication qui est censé nous aider..

[Ben314]

Commençon par... le moins important...
En mimeTeX, lorsque tes indices/exposants contiennent plus d'un caractère (par exemple -1), il faut les mettre entre accolade. Donc ici il suffit de mettre \int_{-1}^1... (pas besoin d'accolades pour le 1 vu qu'il n'y a qu'un seul caractère)

[Sheeppowa]

Et bien merci pour cette info j'y penserais à l'avenir ^^.

[Alasdair]

Salut,

Je ne vois pas pourquoi tu te prend la tête avec un changement de variables. Il suffit de s'en tenir à l'intégration par parties et de faire gaffe, tout se simplifie correctement. Découpe ton intégrale en deux (une partie avec P'' et l'autre avec P'), remarque comment (t^2 - 1) se combine avec la fraction, dérive le coefficient de P''Q (pour l'ipp) et après simplification constate qu'il s'annule bien avec l'autre intégrale. Et comme sans perte de généralité on peut remplacer le rôle de P par Q, ça nous donne l'égalité que tu cherches.

[Sheeppowa]

Oui d'accord je vois, merci pour ton conseil :)

[Sheeppowa]

[Ben314]

Arrivé là et vu l'indic de l'exercice, tu as pas trop le choix pour montrer que le résultat est "symétrique en P et Q".
Comme il contient du P'', du P' et du Q "tout bète", ben faut dériver du Q et/ou intégrer du Q'' pour avoir le même type d'objets.

Pour ce faire, perso, j'écrirais l'intégrale de la somme comme une somme d'intégrale, je ne toucherais pas au coté contenant P'Q et, du coté contenant P''Q, je ferais une I.P.P. en posant u'=P'' et v= tout le reste.
Sans faire de calculs, il est clair que ton u vaut P' et que ton v' s'écrit avec du Q et du Q' donc que le résultat que tu va obtenir s'écrira avec du P', du Q et du Q' donc commence a avoir des chances d'être "symétrique" en P et Q.


P.S.
Aprés calculs (et si je me suis pas gourré...), je trouve
qui est bien symétrique en

[Sheeppowa]

Oui tu as raison sauf que j'ai un moins qui traine.

En effet si l'on pose on a
on a

En regroupant les termes devant .On obtiens :, donc cela se simplifie et il reste donc il reste :

[Ben314]

Il me semble que c'est (presque) la même chose que moi :
- Pour le facteur devans la racine, j'ai préféré écrite 1-t vu que t0.
- Par contre, pour le truc sous la racine, tu te gourre forcément vu que ton truc est négatif pour t entre -1 et 1...


P.S. le problème vient de plus haut, vu que dans ton post précédent, tu avait déjà un qui est incohérent.

[Sheeppowa]

AH oui exacte ! J'ai mis t-1 au lieu de 1-t, merci ^^