Terminale S - Fonction et monotonie

[Darkito]

Bonjour. J'ouvre ce topic pour parler d'une certaine confusion à laquelle je suis souvent confronté lors de l'étude de la monotonie d'une fonction. Voilà quand dit-on qu'une fonction est monotone et quand dit-on qu'elle est STRICTEMENT monotone.. ?
Je pensais que c'était une question d'intersection avec l'axe des abscisses..
Si f s'annule sur R alors elle est croissante.. Si f ne s'annule pas alors elle est STRICTEMENT croissante..
Mais parfois on est confronté à un cas, ou f s'annule bel et bien sur R et c'est ce qu'il faut prouver grace aux thèorème des valeurs intermédiaires.. or l'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires exigent la STRICTE monotonie.. mais si f s'annule on ne peut pas dire qu'elle est strictement monotone..
Je ne sais pas si je me suis bien fait comprendre.. En clair peu-t-on dire qu'une fonction est strictement monotone meme si elle s'annule pour une ou deux valeurs ??

[t.itou29]

Bonjour. J'ouvre ce topic pour parler d'une certaine confusion à laquelle je suis souvent confronté lors de l'étude de la monotonie d'une fonction. Voilà quand dit-on qu'une fonction est monotone et quand dit-on qu'elle est STRICTEMENT monotone.. ?
Je pensais que c'était une question d'intersection avec l'axe des abscisses..
Si f s'annule sur R alors elle est croissante.. Si f ne s'annule pas alors elle est STRICTEMENT croissante..
Mais parfois on est confronté à un cas, ou f s'annule bel et bien sur R et c'est ce qu'il faut prouver grace aux thèorème des valeurs intermédiaires.. or l'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires exigent la STRICTE monotonie.. mais si f s'annule on ne peut pas dire qu'elle est strictement monotone..
Je ne sais pas si je me suis bien fait comprendre.. En clair peu-t-on dire qu'une fonction est strictement monotone meme si elle s'annule pour une ou deux valeurs ??

Le fait que la fonction s'annule ne change rien à la monotonie, la fonction f(x)=x s'annule en 0 et est bien strictement croissante sur R. Une fonction est strictement monotone sur un intervalle I si elle est strictement croissante (ou strictement décroissante) c'est à dire si pour tout x,y de I, xf(y) pour une fonction strictement décroissante)
Je me demande si tu confonds pas avec sens de variations / signe de la dérivée ?

[Darkito]

Le fait que la fonction s'annule ne change rien à la monotonie, la fonction f(x)=x s'annule en 0 et est bien strictement croissante sur R. Une fonction est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.
Je me demande si tu confonds pas avec sens de variations / signe de la dérivée ?

Non je ne confonds pas. Tu ne m'as pas compris. Je me suis trompé dans mon message quand j'ai utilisé le mot "croissante" pour mon exemple, je voulais dire monotone. Je sais que monotone c'est soit croissant soit décroissant. Le problème se pose dans l'utilisation de mot strictemenent..
En plus simple, quelle est la différence entre une fonction monotone et une fonction strictement monotone ? Quand dit-on telle fonction est monotone et telle fonction est strictement monotone.. ?
Ayant l'air d'un détail, c'est très important et les profs ont tendence à sanctionner quand il manque de la rigueur dans la rédaction..

[t.itou29]

Non je ne confonds pas. Tu ne m'as pas compris. Je me suis trompé dans mon message quand j'ai utilisé le mot "croissante" pour mon exemple, je voulais dire monotone. Je sais que monotone c'est soit croissant soit décroissant. Le problème se pose dans l'utilisation de mot strictemenent..
En plus simple, quelle est la différence entre une fonction monotone et une fonction strictement monotone ? Quand dit-on telle fonction est monotone et telle fonction est strictement monotone.. ?
Ayant l'air d'un détail, c'est très important et les profs ont tendence à sanctionner quand il manque de la rigueur dans la rédaction..

Ah d'accord. Par exemple pour le cas strictement croissant x>y implique f(x)>f(y) alors que pour croissant cela implique f(x)>=f(y) (il peut avoir égalité). En d'autres termes une fonction croissante seulement peut-être constante sur une partie de l'intervalle.
Et au fait le théorème des valeurs intermédiaires ne nécessité que la continuité. Après si tu veux prouver que chaque valeur est prise une unique fois alors là il faut la stricte monotonie.

[Darkito]

Ah d'accord. Par exemple pour le cas strictement croissant x>y implique f(x)>f(y) alors que pour croissant cela implique f(x)>=f(y) (il peut avoir égalité). En d'autres termes une fonction croissante seulement peut-être constante sur une partie de l'intervalle.
Et au fait le théorème des valeurs intermédiaires ne nécessité que la continuité. Après si tu veux prouver que chaque valeur est prise une unique fois alors là il faut la stricte monotonie.

Ah d'accord ! Merci ! =')

[paquito]

La fonction exp est strictement croissante sur R, mais ne s'annule pas.
La fonction ln est strictement croissante sur R+* et s'annule une fois pour x=1.
Une fonction strictement monotone sur I,soit ne s'annule pas sur I,soit s'annule une seule fois sur I; tout dépend si f(I) contient 0. Donc pour montrer que f s'annule une seule fois sur I en étant strictement monotone sur I, il suffit de vérifier que o est dans f(I).
Attention, f peut s'annuler une seule fois sur I sans être monotone sur I; exemple:
f(x)=x^3-2x-1 et I=(0;2). Tout dépend en fait de l'étude des variations de f.