Propabilité

[Anonyme]

Voici un des exos dont je n'arrive pas à m'en sortir. Si quelqu'un pouvait m'aider, il serait le bienvenue.

Dans cette activité chaque proba demandée sera arrondie à 10^-3.
Une enquête réalisé par la sofre permet d'estimer que la probabilité qu'une lettre, prélevé au hasard dans le courrier d'une entreprise, parvienne à son destinataire en france est 0,7.
dans la suite on ne considère que les lettres à destination de la france.
A l'agence de marne la vallée d'une grande entreprise, on admet que l'on expédie 100 lettre par jour. On note X la variable aléatoire qui, à un jour tirée au hasard, associe le nombre de lettres parvenueà leur destinataires le lendemain. On suppose que les acheminements de ces lettres se font en toutes indépendance.

1.a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

b) Calculer l'espérance mathématique X, puis la valeur arrondie à l'entire le plus proche de l'écart type de X.

c) Calculer la probabilité que 60 lettres exactement sur les 100 expédiés un jour tirée au hasard, parviennent à leur destinataires le lendemain. Pour ce cacul, on prendra C60 100= 1,375*10^28.

2.On décide d'approcher la loi de la variable discrète X par la loi normale de paramètre m=70 et o=5. On note Y une variable aléatoire suivant la loi normale N(70;5).
a) La probabilité qu'au moins 80 des 100 lettres expédiés un jour tirée au hasard parviennent à leur destinataire est P(Y>=79.5).

b) La probabilité que le nombre de lettres sur les 100 expédiés un jour tiée au hasard parvenant à leur destinataire le lendemain soit stricetement compris entre 55 et 85, c'est à dire: P(55,5<= Y<= 84,5).

Voici mes seules réponses:

1.a) On a une répétition d'épreuves identiques et indépendantes.
b) E(X)= 100*0,7= 70.

2.a) P(Y>=79,5)
P(T>=1,9)
1-P(T<=1,9)
1-0,9713
b) P(55,5<=Y<=84,5)
P(-2,9<=T<=2,9)
2 pi(2,9)-1
0,9962

C'est pas grands chose mais vu ce que je faisait avant je suis déjà content. Je vous remecie d'avance pour l'aide que vous m'apporterez.

[Frede]

On t'aidera si vraiment tu ne réussis pas à démarrer mais le 1°) est vraiment très simple. C'est l'exemple-type d'une variable aléatoire.
Tu as:
probabilité d'un succès élémentaire: 0,7
nombre d'essais =100
nombre de succès désiré = X

Qu'est-ce que tu veux de plus ? tu les tiens les paramètres cherchés. Tu n'as plus qu'à prendre la formule de la loi binomiale et à l'appliquer.

[Anonyme]

J'ai déjà répondue à cette question ce sont les questions à partir de la 1.c) que je n'arrive pas. Si vous pouviez simplement me les expliquer. Meric quand même de m'avoir répondu.

[Frede]

Le c) du 1°) me parait aussi très simple. C'est une application de la loi binomiale. Les paramètres sont les mêmes que précédemment. Le nombre de succès souhaités n'est plus l'inconnue puisque cette fois, on a sa valeur:60.

Grâce à l'énoncé qui a la générosité de donner la valeur de C(60,100), il ne reste qu'une multiplication à faire et on trouve un résultat de l'ordre de 1 chance sur 100.

[Anonyme]

Le c) du 1°) me parait aussi très simple. C'est une application de la loi binomiale. Les paramètres sont les mêmes que précédemment. Le nombre de succès souhaités n'est plus l'inconnue puisque cette fois, on a sa valeur:60.

Grâce à l'énoncé qui a la générosité de donner la valeur de C(60,100), il ne reste qu'une multiplication à faire et on trouve un résultat de l'ordre de 1 chance sur 100.

Je ne comprend toujours pas, une des équations qui met donnée est E(X)=np
avec n= nombre d'épreuve
et p= probabilité de succès
donc faut_il que je le troune sous la forme p=n/E(X)?

[Frede]

Au a) du 1°), tu étais censé trouver les paramètres de la loi binomiale donnant la probabilité que X lettres arrivent à destination.

Ces paramètres étaient:
nombre d'essais=100
probabilité d'un succès élémentaire= 0,70

Donc la formule donnant la probabilité que X lettres arrivent à destination était:

P(x) = C(x,100) multiplié par x^0.7 multiplié par (100-x)^3

(On ne te la demandait pas mais tu en as besoin pour le c) , c'est-à-dire maintenant )
C'est facile: tu remplaces x par 60 et tu obtiens:

P(60)= C(60,100) multiplié par 60^0.7 multiplié par (100-60)^0.3

L'énoncé te donne la valeur de C(60,100), c'est super.
60^0.7 avec une calculatrice c'est du gâteau.
40^3, c'est pareil

Je trouve une probabilité de un peu moins de 1/100.

[Frede]

Je n'avais pas vu les réponses que tu avais trouvées. On peut ajouter ceci:
1 a) c'est bon
1 b) c'est bon pour E mais tu ne donnes pas l'écart-type. Ce n'est pas beaucoup plus difficile. C'est racine carrée(npq). Racine carrée(100 x 0.7 x 0.3)= racine carrée(21)=4,58 Mais comme on demande d'arrondir à l'entier le plus proche, on gardera 5.
1 c) je t'ai donné les explications sans te donner le résultat final. Le voici:
1,375*10^28 x 60^0.7 x 40^0.3 = 0.023 soit 23 chances sur 1000

2 a) Tu as bien fait le changement de variable : (79,5 -70)/5=1,9
La probabilité correspondante est bien 0,9713.
(Et ça s'arrête là. Pourquoi donc calcules-tu 1-0,9713 ? Ce serait la probabilité que 80% des lettres n'arrivent PAS) à leur destination.

2 b) c'est très bien

[Anonyme]

Je n'avais pas vu les réponses que tu avais trouvées. On peut ajouter ceci:
1 a) c'est bon
1 b) c'est bon pour E mais tu ne donnes pas l'écart-type. Ce n'est pas beaucoup plus difficile. C'est racine carrée(npq). Racine carrée(100 x 0.7 x 0.3)= racine carrée(21)=4,58 Mais comme on demande d'arrondir à l'entier le plus proche, on gardera 5.
1 c) je t'ai donné les explications sans te donner le résultat final. Le voici:
1,375*10^28 x 60^0.7 x 40^0.3 = 0.023 soit 23 chances sur 1000

2 a) Tu as bien fait le changement de variable : (79,5 -70)/5=1,9
La probabilité correspondante est bien 0,9713.
(Et ça s'arrête là. Pourquoi donc calcules-tu 1-0,9713 ? Ce serait la probabilité que 80% des lettres n'arrivent PAS) à leur destination.

2 b) c'est très bien

Bonjour.
Merci de continuer à m'aider pour cet exercice.
Pour ce qui est du 1.b) je trouve le même écart type en le refaisant.

Pour ce qui est du 1.c) je trouve autre chose:
[img]Sans%20titre[/img]
avec p=0.7 k=60 q=0.3 n-k=40

=(1,375.10^28)*(5,08.10^-10)*(1,216.10^-21)
=0.008
Je voudrais donc savoir ou est ce que je fait la faute.


Pour le 2.a) je ne suis pas d'accord (et j'ai peut être tort) car le professeur nous a donner un formulaire que j'ai suivis (peut être mal):
l'énoncé donne
n(70;5)
P(Y>=79,5)
seulement d'après le formulaire du professeur on a pour
P(Y>=t) -> 1-p(Y=79,5)

(79,5-70)/5=1,9
P(T>=1,9)
1-P(T<=1,9)
1-0,9713
0,0287

Pouvez vous me dire où je me trompe.
Merci encore pour l'aide fournie.

[Frede]

Pour le 1.c, je disais:

1,375*10^28 x 60^0.7 x 40^0.3

en fait, c 'est

1,375*10^28 x 0.7^60 x 0.3^40, ce qui donne:


1,375*10^28 x 5*10^-10 x 1.2 *10^-21

ça donne bien 0.008.

Pour la dernière question, je crains de ne plus rien pouvoir faire avant demain. Mais il me semble bien que ce que tu trouves, c'est la probabilité que PLUS de 80% des lettres arrivent à destination (ou que moins de 20% arrivent à destination). Selon tes calculs, la probabilté que 80% des lettres arrivent à destination ne serait que de 2,8% alors qu'en moyenne 70% des lettres arrivent à destination !

[Frede]

Je suis bien obligé de reconnaître que je me suis trompé et que tu as raison. "Au moins 80%", ça veut dire "plus de 80%" et non pas, comme je l'imaginais "80% ou moins". Donc ton résultat est juste. Excuse-moi de t'avoir fait douter.