[ED102]

Bonjour, je me permet de poser ma question sur ce sujet histoire de ne pas encombré le forum d'un nouveau topic résolu en 3 commentaires

J'ai un exercice sur les probabilités, sur la loi des événements rares, précisément.

J'ai fait presque tout les questions, mais je bloque sur le calcul de cette suite en +inf



Je sais que d'après les questions qui suit, le résultat est forcément : 1
Mais je ne parviens pas à le démontrer

On a déjà que Un 0
Ce qui serait bien (je pense) c'est de minorée cette suite puis d'utiliser le Th des gendarmes

J'ai essayé en minorant chaque terme et en faisant le produit terme à terme, mais ce n'est pas ça ...
Auriez-vous une suite ou une démarche à me proposer ?

Cordialement

[barbu23]

Bonsoir, :happy3:

J'ai vu ça il y'a quelques jours sur le video suivant : http://www.youtube.com/watch?v=Eps7-wanDY0 ( ou bien ici : http://www.youtube.com/watch?v=Lygy1OxUG88 [ Je ne me souviens pas exactement ]
Cela se passe quant on cherche à approximer la loi de Bernoulli par la loi de Poisson. :happy3:
Bref, voiçi la réponse :
, en sachant qu'il y'a facteurs dans , et que à l'infini pour , c'est à dire quand tend vers .
En effet : il y'a : facteurs dans

Cordialement. :happy3:

[ED102]

Tout d'abord merci pour la réponse, même si je n'attendais pas nécessairement une correction, mais plus une indication et justement pourquoi est-ce que :



(Merci pour la video, je suis en train de regarder)

[barbu23]

Est ce que tu as compris pourquoi il y'a facteurs dans ? J'ai expliqué pourquoi dans le message précédent.
Donc, puisque pour fixé allant de à on a : quant tend vers ( i.e : et sont équivalents à l'infini ) ,alors la limite du produit des facteurs de est égale à la limite des facteurs du produit parce que, comme j'ai dit, on remplace le facteur par ( son équivalent ) , on obtient un produit de facteurs :
Cordialement.

N.B. : J'ai ajouté un autre video, je ne sais pas lequel où il y'a ce que je suis entrain d'expliquer. :happy3:

[ED102]

Est ce que tu as compris pourquoi il y'a facteurs dans ? J'ai expliqué pourquoi dans le message précédent.
Donc, puisque pour fixé allant de à on a : quant tend vers ( i.e : et sont équivalents à l'infini ) ,alors la limite du produit des facteurs de est égale à la limite des facteurs du produit parce que, comme j'ai dit, on remplace le facteur par ( son équivalent ) , on obtient un produit de facteurs :
Cordialement.

N.B. : J'ai ajouté un autre video, je ne sais pas lequel où il y'a ce que je suis entrain d'expliquer. :happy3:

Je crois avoir compris l'idée, c'est ce que dit le prof dans la vidéo : "Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson"

Cette suite s'apparente à une fonction rationnelle en +inf. et pour la résoudre on conserverait les termes de plus haut degrés puis on simplifierait ce qui ferai effectivement :



Merci ténor des maths

[ED102]

J'aurais peut-être besoin d'une autre petites aide, qui va me permettre de calculer lambda.

Plus avant, j'avais une question.

Soit M une variable aléatoire donnant le nombre de personnes tués sur la route un jour t
Quelle loi suit alors M

Pour moi elle suit une loi Binomiale .

Mais je n'est pas de paramètre n

J'ai juste p : probabilité d'un accident

Si je veux calculer la probabilité que le nombre de cas mortel M=30.

[barbu23]

Bonjour, :happy3:

C'est bien expliqué dans les deux vidéos que je t'ai mis plus haut sur la loi de Poisson. :happy3:
En général, la loi de Poisson permet de calculer le nombre d’occurrences ( événements ) dans une période de temps ... dès que tu es devant un phénomène qui ressemble à ça, il s'agit automatiquement de la loi de Poisson.
Toi, tu cherches à calculer le nombre de personnes tués sur la route un jour t, c'est à dire tu cherches le nombre d’occurrences ( Personnes tués sur la route ) un jour t ( dans une durée ).
Donc, c'est la loi de Poisson que tu dois utiliser.
En bref, ici : avec et tu dis que c'est une valeur connue ( probabilité d'un accident ), et tu dis que c'est le nombre de cas mortel, c'est à dire, le nombre des personnes tués sur la route.
Donc : . Tu n'as pas encore précisé combien vaut .

Cordialement. :happy3:

[Ben314]

Salut,
tout d'abord une remarque :

Bonjour, je me permet de poser ma question sur ce sujet histoire de ne pas encombré le forum d'un nouveau topic résolu en 3 commentaires

ça peut sembler sympa de ta part, mais c'est pas forcémént trés malin :
- Le sujet du topic n'est pas le bon.
- Je pense que pas mal de monde risque de ne pas voir ton truc vu qu'il ne regarde que la question "de départ" du topic et que, si ça ne l'interesse pas (trop simple, trop compliqué, pas mon domaine, etc...) il ne regarde pas la suite...

Je sais que d'après les questions qui suit, le résultat est forcément : 1

Aprés, concernant ta question, si la réponse ne te semble pas "complètement archi évidente", cela signifie obligatoirement qu'il y a un truc que tu n'a pas bien compris dans l'énoncé, c'est que k est une constante et que la variable, c'est .
Donc, par exemple, si k=3 (constant, fixé, qui ne bouge pas du tout...), alors tu as qui tend vers un car... c'est le quotient de deux polynômes de degrés 3 ayant tout les deux comme terme de plus haut degrés .
Tu récrit la même phrase en remplaçant 3 par et c'est plié...

[Ben314]

J'ai juste p : probabilité d'un accident

Avec "que ça" comme énoncé, c'est mal barré pour faire des calculs...
Déjà, c'est quoi que tu appelle "la proba d'avoir un accident" ?

- La proba d'avoir un accident lorsque l'on parcours 1 kilomètre ? 10 Km ? 100 Km ?
- La proba d'avoir un accident lorsque l'on roule pendant 1 heure ? 10 heures ? 20h ?
- La proba d'avoir un accident dans la journée sachant qu'on a pris sa voiture au moins une fois dans la journée ? idem mais sur un mois ? idem mais sur un an ?
- la proba d'avoir un accident dans la journée pour un individut quelconque de la population (sans tenir compte du fait qu'il a sorti sa bagnole ou pas) ?

Ensuite, l'autre problème, c'est effectivement que, quelque soit le sens de "la proba d'avoir un accident", il faudrait effectivement savoir qui est la population et comment on compte les "cas mortels" (par jour ? par an ?)

[barbu23]

Comme cela avait déjà été dit.

[ED102]

C'est un exercice qui doit amener progressivement à la loi de Poisson à travers une étude de cas.
Dans les première question donc, cette formule est donc supposer inconnue du lecteur et je ne peux pas l'utilisé.

La question que je pose est situé bien avant le calcul de limite que je ne trouvais pas .
Je l'avais laissé en suspend pour pouvoir avancer .

-

Pour cela on se penche sur le fait que sur l'ensemble des français (environs 66 millions), tous ont la même probabilité d'avoir un accident p = 0.00004 pendant un jour donnée.

Et on pose M la variable aléatoire donnant le nombre de tués sur la route le jour considérer.
(ce que j'ai nommé : un jour t, il s'agit à priori d'un jour quelconque).


A partir de là ont me demande quelle loi suit cette variable et que vaut-elle si le nombre de tué est de 30 donc P(M=30).

Seulement, si M suit un schéma de Bernoulli, j'ai besoin de connaitre n.


------

Barbu23, m'avait déjà expliqué l'histoire de la limite .

[barbu23]

Moi aussi je suis un peu perdu la dessus. :mur: :hum:
D'abord, la probabilité d'avoir un accident n'est pas la probabilité d'être un cas mortel, tu es d'accord là dessus ?! Donc la probabilité d'être un cas mortel doit être en fonction de la probabilité d'avoir un accident.
Bref, on dessine un petit arbre là :
----> avoir un accident ----> cas mortel
----> avoir un accident ----> cas non mortel
----> ne pas avoir un accident -----> cas mortel
----> ne pas avoir un accident -----> cas non mortel
Donc



Il manque beaucoup de données dans ton énoncé, il me semble. :happy3:
Que représente dans ton énoncé ? Je ne comprends pas encore ça. :hum:
est la taille de l'échantillon ou de la population, il me semble.
Je ne suis pas doué en probabilités moi. :dodo:
Cordialement.

[ED102]

moi non plus je ne comprend ce que vaut n .

Au début, je croyait que c'était 66 millions, mais je peux pas faire de calcule avec ça.

Tout ce que j'ai c'est d'après "des études récentes sur 66 millions de français, tous ont la même probabilité d'avoir un accident mortel p = 0.00004.

Si on note la VA valant 1 si la i-ème personne à un accident un jour donnée et 0 sinon.
avec les événement indépendant je peux dire que ~ .

Mais pour M ....

"D'abord, la probabilité d'avoir un accident n'est pas la probabilité d'être un cas mortel"

Mouai, logiquement, mais je pense pas que c'est ce qui est suggérer ici, c'est plutôt accident mortel ou pas.

Vue comment tout ça est présenter soit je loupe une info qui se lit entre les lignes, soit l'info est absente .

[Ben314]

Je suis comme toi : la formulation de l'énoncé n'est effectivement pas super claire, mais j'aurais aussi tendance à penser que entre "accident" et "cas mortel", c'est juste un oubli de précision et qu'il faut comprendre "accident mortel".

Aprés, ton M, je pense qu'on attend juste que tu dise que c'est la somme des Li ce qui te permet de dire que la loi de M, c'est une loi binomiale.

Par contre la phrase "que vaut-elle si le nombre de tué est de 30" ne veut effectivement pas dire grand chose et je pense qu'effectivement ce qu'il faut comprendre, c'est "quelle est la proba qu'il y ait 30 tués".
La réponse est alors bètement avec N=66 000 0000

Et c'est là que, pour approximer ce truc où est immense, archi petit mais est de taille raisonable (ni complètement ridicule, ni immense) tu peut dire que :

[ED102]

Mouai ... mais on me demande de faire ce calcul avec la loi binomiale avant, 6 questions plus tard de le faire avec Poisson.

Mais, si je fais 66 000 000 ! ma calculette, va me balancer un beau : infinity

[Ben314]

Mouai ... mais on me demande de faire ce calcul avec la loi binomiale avant, 6 questions plus tard de le faire avec Poisson.

Mais, si je fais 66 000 000 ! ma calculette, va me balancer un beau : infinity

Les coeff binomiaux, si ta calculette ne sait pas les calculer directement, c'est souvent pas trés malin de les calculer en utilisant les facorielles (qui se simplifient) il vaut mieux faire :

donc ici tu "juste" à calculer
66 000 000 x 59 999 999 x 59 999 998 x ... x 59 999 971 (30 termes dans le produit)
(et tout ça pour constater qu'à un poil de cul prés, ça fait la même chose que 66 000 000 à la puissance 30...)

Sinon, tu peut utiliser un truc comme wolfram, mais ne lui demande pas non plus de calculer la facorielle de 66 000 000 mais directement de calculer le coeff. binomial qui t'interesse :
https://www.wolframalpha.com/input/?i=binomial%2866000000+%2C+30%29

[ED102]

Heeu ... avec la loi binomiale c'est des combinaisons, ou je me trompe ?




Oubli, j'ai compris différence d'écriture selon que c'est écrit sous forme factorielle ou pas

[ED102]

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[Ben314]

Avec et , ça te fait et est trés petit (mais non nul).

Avec le calcul "bourin" du début, tu avais trouvé quoi comme proba d'avoir 30 cas mortels (ça devait pas être gros non plus vu qu'avec les chiffres donné, l'espérance du nobre de cas mortel est justement de 2640...) ?

[url=https://www.wolframalpha.com/input/?i=binom%2866000000%2C30%29*0.00004^30*%281-0.00004%29^%2866000000-30%29]Calcul "binomial"[/url]
[url=https://www.wolframalpha.com/input/?i=2640^30%2F30!+*+exp%28-2640%29]Calcul "Poisson"[/url]

C'est vrai que des proba de l'ordre de , c'est pas énorme...