Optimisation - projection orthogonale

[matlogan05]

Bonjour à tous,

Je suis bloqué dans un exercice de TD d'optimisation.
Voici l'énoncé complet:

Soit K un convexe fermé non vide de R^n. Soit u n'appartenant pas à K et uo sa projection orthogonale sur K, note Pi K.

1. En considérant que uo réalise le minimum de J(v) = norme au carré de (v-u) sur K, écrire la condition d'optimalité d'ordre 1 pour uo. Cette condition caractérise t elle uo?
Montrer que uo est un min global sur K.

2. Montrer qu'il existe d appartenant a R^n et b réel tels que :
(d,u) < b < (d,v) pour tout v de K

(On dit que H: = (d,x)= b est un hyperplan affine qui sépare K et u.

Pour la question 1, j'ai réussi. Cependant, je bloque à la question 2, je ne vois pas tellement quoi faire.
Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Fait un dessin (en dimension 2) pour comprendre.
Je pense que tu as vu (au lycée ?) que dans le plan, si d est un vecteur fixé et b un réel fixé, l'ensemble des points tels que (d,x)=b (produit scalaire), c'est une droite de vecteur normal d.

Cela conduit à prendre pour d le vecteur uo-u de façon à ce que la droite puisse séparer u du convexe puis à prendre pour b n'importe quel réel compris entre (d,u) et (d,uo).