Limites , variations

[hugom30]

bonjour,

j'ai pour exercice de math:

la fonction f définie sur ]0;+oo[ par f(x) = x²-1-8ln(x)

je dois traiter les question 2 fois, une fois en utilisant la calculette et l'autre par les calcules.

1) étudier la fonction f sur son ensemble de définition (limites, variations)

donc pour moi;
lim(x²) en 0 = 0 lim(-1) en 0 = -1 lim(-8lnx) en 0 = -oo
lim(x²) en +oo = +oo lim(-1) en +oo = +oo lim(-8lnx) en +oo = +oo

donc pour avoir au final f(x) = +oo

est-ce juste ?

concernant le tableau de variation, il me faut la dérivé de f(x)
pour moi la dérivé est x- (1/x)

est-ce juste ?

Merci de me répondre
bonne journée

[Tiruxa]

bonjour, quelques corrections et indications.

1) étudier la fonction f sur son ensemble de définition (limites, variations)

donc pour moi;
lim(x²) en 0 = 0 lim(-1) en 0 = -1 lim(-8lnx) en 0 = + oo
lim(x²) en +oo = +oo lim(-1) en +oo = +oo lim(-8lnx) en +oo = - oo

Donc forme indéterminé, pour la lever, il suffit, par ex, de mettre x en facteur dans f(x).

concernant le tableau de variation, il me faut la dérivé de f(x)
pour moi la dérivé est x- (1/x) Faux, erreur sur la dérivée de la fonction "carré" et oubli du coefficent 8 devant lnx

[hugom30]

bonjour, quelques corrections et indications.

Pour la dérivé, je corrige;
x² = 2x

mais pour -8lnx, je fais comment ? car je ne sais pas quoi faire du 8.

[Tiruxa]

Pour la dérivé, je corrige;
x² = 2x

mais pour -8lnx, je fais comment ? car je ne sais pas quoi faire du 8.

On a (ku)' = ku' où k est une constante réelle

Donc (8 u)' = 8 u'

[hugom30]

On a (ku)' = ku' où k est une constante réelle

Donc (8 u)' = 8 u'

donc sa ferait 8 *(x*ln(x)-x) ?

Concernant les limites, il me demande de les calculer à la calculette et a la main.

Pour la calculette, je tape juste la fonction f(x) et je dis qu'elle va vers + oo ?

et à la main je sépare la fonction ?
x²
-1
8lnx

concernant le f(0) je dois faire un f(0+) et un f(0-) ?

[Tiruxa]

Lis bien les annotations que je donne :

Pour la dérivée, on a :


et à la main je sépare la fonction ?
x²
-1
8lnx

Oui mais en mettant x en facteur sinon c'est indéterminé.

concernant le f(0) je dois faire un f(0+) et un f(0-) ?

f est définie sur ]0;+oo[ donc on cherche la limite quand x tend vers 0 (en fait vers 0 par valeurs supérieures)

[hugom30]

Lis bien les annotations que je donne :

ok, c'est bon maintenant

et quand il me demande de déterminer le signe de f sur [0,5;1,5] je dis quoi ?
parce que quand je mets la fonction dans la calculette, je vois très bine que dans cette intervalle ma fonction descend .

Mais comment le marquer sur ma feuille, je vais pas seulement marquer que ma fonction descend sur l'intervalle 0,5 ; 1,5 .

[Tiruxa]

et quand il me demande de déterminer le signe de f sur [0,5;1,5] je dis quoi ?
parce que quand je mets la fonction dans la calculette, je vois très bine que dans cette intervalle ma fonction descend .

En effet f'<0 sur l'intervalle souhaité, donc f est strictement décroisssante sur cet intervalle.

Pour le justifier :
Réduire au même dénominateur dans f'(x)
Factoriser le numérateur
Etudier le signe des facteurs (sauf ceux qui sont strictement positifs sur Df puisqu'ils ne modifient pas le signe de f'(x))
On peut utiliser un tableau de signes
Conclure

[hugom30]

Vous pouvez me dire comment je peux factoriser x²-1-8lnx ?
comment ont fait quand il y a un lnx ?

merci

[Tiruxa]

Vous pouvez me dire comment je peux factoriser x²-1-8lnx ?
comment ont fait quand il y a un lnx ?

merci

Cela ne change pas :



Ensuite simplifier si on peut, puis déterminer chaque limite.

[hugom30]

ok, pour les limites, je fais (x²/2) ; (-1/x) ; et -8*(lnx/x).

Le x devant pas besoin de déterminer sa limite ? et toujours pareil je détermine en 0 et +oo ?

[hugom30]

ok, pour les limites, je fais (x²/2) ; (-1/x) ; et -8*(lnx/x).

Le x devant pas besoin de déterminer sa limite ? et toujours pareil je détermine en 0 et +oo ?

donc f(o) :

x²/x = 0 -1/x = -oo -8ln(x)/x = +oo

f(+oo):

x²/x = +oo -1/x = 0 -8ln(x)/x = -oo

et du coup si on fait la somme de tout ça, f(x) serait positive.

c'est dure, parce qu'ils me demandent de calculer a la calculette, sa c'est facile, mais après pour expliquer c'est autre choses...

[Robic]

Pour la limite en 0, n'utilise pas la factorisation puisque ce n'est pas une limite indéterminée ! Utilise la méthode de ton premier message (en rectifiant comme Tiruxa l'a montré).

En plus l'infini (là c'est une forme indéterminée, c'est là, et seulement là, qu'on utilise la factorisation), la limite de -8 ln(x)/x ne fait pas moins l'infini ! La limite de ln(x)/x est une des limites a priori indéterminées qu'on voit en cours et qu'il faut connaître par coeur.

Le x devant pas besoin de déterminer sa limite ?

Mais si ! (Tes questions suggèrent que tu ne comprends pas trop ce que tu fais, que tu « subis » l'exercice en quelque sorte. Peut-être que tu devrais revoir les exercices de ce type déjà vus et corrigés ?)

Pour la dérivée, tu en es où ?

[hugom30]

si il y a bien une matière que je subis , c'est bien les maths ...

Pour la dérivée, c'est bon 2x -8/x

Après pour mon tableau de variation j'ai fais ceci.
(désolé je ne sais pas faire de tableau de variation sur ce forum, j'essaye de le faire au mieux^^)

x: (intervalle) 0 2 +oo

f ' (x) - 0 +

f(x) +oo +oo

- +
-2,5


pour f(x) j'ai fais des fléches, le - dit qu'elle est décroissante de +oo à -2,5 et qu'elle est croissante de -2,5 à +oo

[Robic]

Ça m'a l'air juste.

[hugom30]

désolé pour la présentation, sa a décalé est sa rend le tableau moche, mais si vous avais compris, c'est bon.

Il me faut faire l’intégrale de f(x) en (1;0,5) et (1,5;1)

je l'ai fais avec la calculette, je trouve 1,02 et -0.57 , puis par calculs après, je trouve le bon résultats.
Mais j'ai fais qu'une simple intégrale, or je ne suis pas sensés savoir la primitive de ln(x) (même si je la connais), mais la prof nous fais faire des intégrales par parties.

donc j'ai fais:
u = (x²-1) u'=(2x)
v = 8/x v'= 8lnx

integrale:
u*v' = u*v - u'*v

puis après il faut encore primitivé (u'*v)

j'ai essayé, je ne trouve absolument pas, les résultats d'au-dessus.

vous faites comment dans ce cas là?

[Tiruxa]

Bonjour,

En effet pour ln il faut faire une intégration par parties.

Mais apparemment tu n'as pas encore les bons réflexes là dessus.

D'abord cela ne serte QUE pour des produits.

Si on a qu'un seul facteur (comme lnx par ex) on prendra comme deuxième facteur 1 puisque 1*lnx = lnx.

Ici on a donc lnx et -8.

Ensuite sur ces deux facteurs l'un va être dérivé l'autre intégré (ou primitivé si tu veux).

Dans ce cas il est évident que l'on va dériver le ln et donc intégrer la constante -8. (je dis évident puisqu'on est pas censé savoir intégrer ln).

Donc on pose u(x)=lnx et v'(x)=-8

on a alors u'(x)=1/x et v(x)= -8x

Somme -8ln x dx = [-8x lnx] - Somme (-8x/x )dx = [-8x lnx] +[8x]

Donc enfin Somme f(x)dx = [(1/3) x^3 - x] + [-8x lnx] +[8x]

Je te laisse finir en utilisant les bornes de l'intégrale.

[hugom30]

c'est bon je retrouve bien les valeurs que j'avais trouvé.

je dois calculer l'unité d'aire en x = 0,5 et x = 1,5.

j'ai trouvé 0,44, on peux arrondir a 0,45.
mais beaucoup dans ma classe trouve 1,59, parce qu’ils ont additionné les aires entre-elle (celle de 1;0,5 et 1,5;1)

or moi je les ai soustraites est je trouve 0,44.. et ma calculette trouve pareil.

qui a juste ?

[hugom30]

c'est bon je retrouve bien les valeurs que j'avais trouvé.

je dois calculer l'unité d'aire en x = 0,5 et x = 1,5.

j'ai trouvé 0,44, on peux arrondir a 0,45.
mais beaucoup dans ma classe trouve 1,59, parce qu’ils ont additionné les aires entre-elle (celle de 1;0,5 et 1,5;1)

or moi je les ai soustraites est je trouve 0,44.. et ma calculette trouve pareil.

qui a juste ?


désolé du doublon, je voyais pas mon post, je pensais qu'il ne s'était pas posté

[Tiruxa]

Les autres ont raison. Il faut couper à 1 car la courbe coupe l'axe.