Faux Fermat

[adrien69]

Aujourd'hui j'ai un pote qui a eu un moment de faiblesse et qui s'est planté dans le petit théoreme de Fermat. Il a assuré que
pour tout a si m est premier.

D'oú ma question :

Pour quels entiers m cette identité est-elle vérifiée ?

[Ben314]

Salut,
Bon, déjà, il y a une erreur dans l'énoncé : le petit théorème de fermat te dit que, si p est premier et si a n'est pas un multiple de p alors donc (y compris si a est un multiple de p) donc il y a un +1 de trop dans ta formule.

Aprés, si tu demande uniquement à ce que la propriété soit vraie pour les a premiers avec m, tu tombe sur la définition des nombres de Carmichael.

Si tu demende à ce que ce soit vrai pour absolument tout a, je pense (à vérifier...) que tu n'as plus que les nombres premiers...

[adrien69]

Salut,
Bon, déjà, il y a une erreur dans l'énoncé : le petit théorème de fermat te dit que, si p est premier et si a n'est pas un multiple de p alors donc (y compris si a est un multiple de p) donc il y a un +1 de trop dans ta formule.

Aprés, si tu demande uniquement à ce que la propriété soit vraie pour les a premiers avec m, tu tombe sur la définition des nombres de Carmichael.

Si tu demende à ce que ce soit vrai pour absolument tout a, je pense (à vérifier...) que tu n'as plus que les nombres premiers...

Je ne suis pas un idiot Ben... Je sais bien tout ça, c'est même ce que je disais qu'il s'était planté.

Je me demande juste quels sont les m qui vérifient pour tout a

Et bien entendu tu n'as plus les nombres premiers. Sauf 2.

La question c'est donc pour quels nombres on a

[Ben314]

J'ai effectivement trés mal compris la question...
D'un autre coté, si ce que tu cherche c'est les tels que ce n'est (sauf erreur) pas la même chose que les tels que du fait que :
1) Si cela implique uniquement pour les premiers avec et pas forcément pour les autres.
2) Comme le groupe multiplicatif des inversibles de l'anneau n'est en général pas cyclique, il peut ne pas contenir d'éléments d'ordre et dans ce cas, je ne suis pas certain que l'assertion " " implique que .

Si on s'interesse à le propriété , alors :
Si est un diviseur premier de alors, en prenant , on a donc qui prouve que est inversible modulo donc que ne divise pas .
Ecrivons avec donc est impair ce qui signifie que . En particulier donc .
Si alors est une solution.
Si comme est impossible (sinon ) on a forcément donc
Si alors est une solution.
Si , non premier donc .
Si alors est une solution.

Sauf erreur, ça s'arrête là vu que, en fonction de ce que l'on prend pour , les valeurs possibles pour sont 87, 259, 603, 1807 et aucune des 4 n'est première.

[adrien69]

Splendide !