Une question d algebre generale

[LA solution]

Bonjour,
je viens vers vous pour demander vos aide
Depuit mon retour de vacances je suis tombé sur cet exo qui ma paru en premiere vue facile alors c etai tout a fait compliquer ou bien je suis perdu pour le moment
voici l exo : on me demande de determiner l ensemble des entiers naturels telsque phi(5n)=5phi(n) où phi est le nombre d Euler

[Maxmau]

Bonjour,
je viens vers vous pour demander vos aide
Depuit mon retour de vacances je suis tombé sur cet exo qui ma paru en premiere vue facile alors c etai tout a fait compliquer ou bien je suis perdu pour le moment
voici l exo : on me demande de determiner l ensemble des entiers naturels telsque phi(5n)=5phi(n) où phi est le nombre d Euler

Bj
Utilise les propriétés de l'indicateur d'Euler
par exemple: si 5 ne divise pas n alors 5 premier avec n et phi(5n)=phi(5)phi(n)
phi(5)=4 donc on aurait phi(5n)=4phi(n)
une solution est donc nécessairement un multiple de 5. n = (5^q)k avec q >=1 et k non divisible par 5.
A toi

[LA solution]

comme vous l avez su bien dit
si phi(5n)=4phi(n)
en identifiant avec 5phi(n)
on aura
4phi(n)=5phi(n) n a pas de solution car en simplifiant par phi(n) on aura 4=5 ce qui est faux

[LA solution]

Merci
Maximau pour la solution
et pour ce cas: phi(n)=9
comment faire?

[Maxmau]

Merci
Maximau pour la solution
et pour ce cas: phi(n)=9
comment faire?

phi(n)=9 ?????????
on a vu que:
une solution est donc nécessairement un multiple de 5. Dans ce cas: n = (5^q)k avec q >=1 et k non divisible par 5.
Dans ce cas:
phi(n) = phi((5^q)k) = phi(5^q).phi(k) puisque 5^q et k sont premiers entre eux
phi(5^q) = 4 5^(q-1) donc phi(n) = 4 5^(q-1).phi(k)
phi(5n) = phi((5^(q+1))k) = 4 5^q.phi(k)
finalement: lorsque n est multiple de 5, on a toujours: 5phi(n) = phi(5n)

A toi de conclure: quels sont les entiers n tq 5phi(n) = phi(5n) ?

[Maxmau]

Merci
Maximau pour la solution
et pour ce cas: phi(n)=9
comment faire?

j'avais pas compris que c'était un nouvel exo.
pour l'équation phi(n)=9, tu décomposes n en produit de facteurs premiers et tu utilises l'expression de phi(n) qui en découle. Supposons phi(n)=9
Alors si p est un entier premier de la décomposition de n, (p-1) divise phi(n) c'est à dire 9. Donc p-1 = 1 , 3 ou 9 soit p = 2 , 4 ou 10. mais p est premier d'où p = 2.
En résumé si phi(n)=9 alors nécessairement n est une puissance de 2. Je te laisse terminer.

[LA solution]

merci MAXIMAU
ne vous en faite pas pour la redaction car ton exiplication est tres bien detailler
merci encor pour ta generosité a+