Seconde forme fondamentale pour la sphère

[sinusx]

Bonjour,

Je rencontre un petit problème quand je calcule la courbure de Gauss de la sphère.

Le paramétrage est


Une base du plan tangent à un point est donnée par les vecteurs :

Leur produit vectoriel donne, après normalisation (par ), le vecteur normal de Gauss :


Pour calculer les courbures principales, il faut calculer sa différentielle et l'exprimer dans la base du plan tangent. Mais on peut remarquer à ce stade qu'on a : de telle sorte que
et alors la matrice de l'endomorphisme dans la base du plan est :
D'où la courbure de Gauss .

Question :
Lorsque j'utilise directement la matrice de la seconde forme fondamentale

J'obtiens, avec les calculs précédents


Le qui subsiste me semble bizarre. J'ai vérifié les calculs avec une machine. La définition (http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/cs/cs.pdf , p. 23) que j'utilise pour la matrice de la seconde forme fondamentale est-elle correcte ? Si oui où se trouve mon erreur ?

Merci d'avance !