Conditionnement matrice tridiagonale

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Bonjour à tous!

Dans le but de justifier l'efficacité d'une méthode numérique, je cherche à montrer que le conditionnement de la matrice est plus petit que celui de A, où A est tridiagonale symétrique (avec a1,...,an sur la diagonale, et b1,...,bn sur la surdiagonale et la sousdiagonale), et C est la matrice diagonale extraite de A.

Le conditionnement d'une matrice symétrique étant le rapport de la plus grande valeur propre sur la plus petite, j'ai essayé de calculer les valeurs propres de .
J'ai donc calculé et ai trouvé, sauf erreur de ma part, une matrice tridiagonale avec des 1 sur la diagonale; , ... , sur la surdiagonale, et , ... , sur la sousdiagonale.

A partir de là... je bloque.
J'arrive à calculer les valeurs propres dans les cas où les bi et les ai sont tous égaux, mais la méthode ne fonctionne plus ici.

Quelqu'un aurait-il un coup de pouce à me donner ? Ou bien une meilleure façon de s'y prendre pour comparer les deux conditionnements ?

Merci d'avance !

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Autre question plus simple :

N'ayant pas réussi à résoudre mon problème, je me suis attelée à celui plus simple d'une matrice toujours tridiagonale symétrique, mais avec cette fois les ai tous égaux à a, et les bi tous égaux à b.

J'ai réussi à calculer que les valeurs propres de A étaient , où j est compris entre 1 et n, et celles de étaient .

Le conditionnement étant toujours le rapport de la plus grande valeur propre sur la plus petite, je trouve alors , où m1 maximise et où m2 le minimise.

De la même manière, je trouve

Autrement dit, je trouve que les conditionnements sont égaux... Je devrais pourtant, il me semble, trouver le conditionnement de plus petit que celui de A.

Ai-je fait une erreur ?