Equation différentielle d'ordre 2 avec second membre non continu

[sachaca]

Bonjour,

Est ce que quelqu'un sait résoudre une equation différentielle d'ordre 2 avec second membre non continu ?
En particulier: sur ]0;1[
-y''+y=f(x)
où f(x) = 0 sur ]0;1/2[, 1 sinon

Merci beaucoup

Sacha

[Ben314]

Salut,
Tout le problème dans un exercice de ce type est de savoir quelle régularité tu demande pour y aux points où f est discontinu...
Sans aucune info de plus, en considérant que l'on ne demande RIEN à la fonction y aux points 0 et 1/2, j'écrirais que :
1) L'équation -y''+y=0 sur un intervalle I a pour solutions y(t)=a.exp(t)+b.exp(-t) où a et b sont deux constantes arbitraires.
2) L'équation -y''+y=1 sur un intervalle I a pour solutions y(t)=1+c.exp(t)+d.exp(-t) où c et d sont deux constantes arbitraires.

DONC les solutions de ton équa-diff sont les fonction :
où a,b,c,d,e,f sont des constantes arbitraires.

Aprés, si tu désire que y soit continue (voire dérivable) en 0 et en 1/2, ça te rajoute des conditions sur a,b,c,d,e,f.
Par contre il est clair au vu de l'équation différentielle de départ que tu ne peut pas avoir y deux fois dérivable en 0 et en 1/2.

Par exemple, si on part de y(t)=0 pour t<0 (c'est à dire de a=b=0), la continuité en 0 signifie que 1+c+d=0 et la dérivabilité en 0 que 1+c-d=0 donc que c=-1 et d=0.
Idem pour la continuité et la dérivabilité en 1/2 qui vont ensuite imposer que et c'est à dire et .

[Black Jack]

-y'' + y = 0
p = +/- 1

y = A.e^x + B.e^-x sur ]0 ; 1/2[

y = C.e^x + D.e^-x + 1 sur [1/2 ; 1[

Avec A, B, C et D des constantes réelles à déterminer par des conditions à préciser.

Si y doit être continue en 1/2, il faut que A.e^(1/2) + B.e^(-1/2) = C.e^(1/2) + D.e^(-1/2) + 1

:zen:

[Ben314]

Je viens de réagir que j'ai lu l'énoncé complètement de travers (j'ai pris 1 là ou il y avait 0 et j'ai défini la fonction sur R et pas ]0,1[)
Enfin bon, ça change pas le principe... :zen:

[sachaca]

Good ! merci à tous !

J'ai pu resoudre l'exercice. j'ai aussi utilisé la derivabilité en 1/2 pour identifier tous les coefficients.

Bon c'était gros comme calcul, j'ai envoyé ça dans Maple, mais j'ai pu résoudre.

merci à tous