Suite : Exercice astucieux

[mistiratop]

Bonjour,

J'ai besoin de votre aide au sujet d'un exercice concernant les suites dont les dernières questions me posent problème.

Voici l'énoncé,ainsi que mes réponses aux premières questions :

(Un) est une suite définie par : Uo = -2 et n€[FONT=Courier New]N[/FONT] :
[/SIZE] Un+1 = 1/4 (-Un+n)

Soit (Vn) une suite définie par n€[FONT=Courier New]N[/FONT]

,Vn = Un+1 - Un

Soit (Wn) tel que n€[FONT=Courier New]N[/FONT] ,Wn = Vn + a

1) Montrer que n€N,Un+1 = -(1/4)Vn + 1/4 (J'ai réussi cette question)
2) Determiner a tel que (Wn) soit géometrique (Rp : a = -(1/5))
3)Exprimer Wn et Vn en fonction de n (Rp : Wn = (2,3)x(-1/4)^n et Vn = (2,3)x(-1/4)^n + (1/5)
4) Montrer que Un = Vn-1 + Vn-2 + ..... + V0 + U0 (Je suis passé par l'éxpression de départ de Vn et j'obtient cela :

Vn-1 = Un - Un-1 Un = Vn-1 + Un-1 (or si on se ramene à l'expression de Vn en fonction de Un,on obtient : Un-1 = Vn-2 + Un-2,etc... et on arrive à ce que nous donne l'énoncé)

5) En déduire Un en fonction de n
6) En déduire la limite de Un

Je bloque à la question 5 et je ne peux donc pas résoudre la question 6,c'est pourquoi je fait appel à vous.En effet,pour la 5) je ne vois absolument pas comment transformé cette somme,je pense qu'il faut se débrouiller avec (Wn) pour simplifier cette somme avec la formule du cours au sujet des sommes de termes consécutifs d'une suite géométrique.

Merci de votre aide ,Cordialement,Mistiratop

[Tiruxa]

Bonjour,
Voici quelques indications :

[B]1) Montrer que n€N,Vn+1 = -(1/4)Vn + 1/4 (J'ai réussi cette question)
2) Determiner a tel que (Wn) soit géometrique (Rp : a = -(1/5))
3)Exprimer Wn et Vn en fonction de n (Rp : Wn = (2,3)x(-1/4)^n et Vn = (2,3)x(-1/4)^n + (1/5)
4) Montrer que Un = Vn-1 + Vn-2 + ..... + V0 + U0 (Je suis passé par l'éxpression de départ de Vn et j'obtient cela :

Vn-1 = Un - Un-1 Un = Vn-1 + Un-1 (or si on se ramene à l'expression de Vn en fonction de Un,on obtient : Un-1 = Vn-2 + Un-2,etc... et on arrive à ce que nous donne l'énoncé)

Tu peux le faire aussi en ajoutant membre à membre les égalités Vk=Uk+1-Uk, de k = 0 à k = n-1.
On obtient Somme de Vk, (de 0 à n-1) = Un - Uo.

5) En déduire Un en fonction de n
On a Wn = Vn+a
On a donc (Somme des Wk, de 0 à n-1) = (Somme des Vk, de 0 à n-1) + n*a
Comme Wk est géométrique on sait calculer (Somme des Wk, de 0 à n-1) .
On en déduit, la (somme des Vk, de 0 à n-1) et enfin Un en fonction de n.

[mistiratop]

C'est ce que j'ai fait et voici ce que je trouve :

5) Je trouve Un = -2 + (46/25) x 1 - (-0.25)^n + (n/5)
6) lim -2 = -2 , lim (46/25) x 1 - (-0.25)^n = (46/25) car lim (-0.25)^n = 0 car -1<(-0.25)<1,lim n/5 = + infini j'en déduis que lim Un = + infini

Bien entendu pour toutes les limites,j'écris en dessous n tend vers l'infini c'est juste que je ne sais pas les faire sur l'ordinateur bien que je suis certain qu'il faut utiliser latex ^^

[Tiruxa]

C'est ça il y a juste des parenthèses qui manquent.

C'est ce que j'ai fait et voici ce que je trouve :

5) Je trouve Un = -2 + (46/25) x [1 - (-0.25)^n] + (n/5)
6) lim -2 = -2 , lim (46/25) x [1 - (-0.25)^n] = (46/25) car lim (-0.25)^n = 0 car -1<(-0.25)<1,lim n/5 = + infini j'en déduis que lim Un = + infini

Bien entendu pour toutes les limites,j'écris en dessous n tend vers l'infini c'est juste que je ne sais pas les faire sur l'ordinateur bien que je suis certain qu'il faut utiliser latex ^^