Isomorphe

[zork]

Bonjour,

Je cherche l'exo suivant:
un groupe abélien fini G est simple ssi il est isomorphe à (Z/pZ,+) avec p premier

pour le sens où il faut supposer que G est un groupe abélien fini simple
je sais que G est isomorphe à avec r entier et d1 divise d2 divise..divise dn
Mais comment continuer?

Pour l'autre sens:
je n'ai aucune idée


merci

[Ben314]

Salut,
Tu peut évidement utiliser le théorème de décomposition :

je sais que G est isomorphe à avec r entier et d1 divise d2 divise..divise dn

, mais vu la simplicité du truc, c'est un peu prendre un buldozer pour écraser des mouches...

=> : Si G est simple (abélien fini) non réduit à {e}, on prend xo distinct de e dans G et on a forcément G= (sous groupe engendré par xo) car G est simple et que est un sous groupe de G distinct de {e}.
On en déduit que G est isomorphe à (Z/nZ,+) où n>1 est l'ordre de xo. De plus, si p est un diviseur premier de n alors le sous groupe engendré par xo^p est de cardinal n/p donc strictement contenu dans G donc réduit à {e} vu que G est simple. Cela montre que xo^p=e et donc que n=p.
<= : Si G est isomorphe à (Z/pZ,+) alors tout élément x autre que le neutre e est d'ordre p (vu que les seuls diviseurs de p sont 1 et p) donc si un sous-groupe contient x, il est égal à G : G est simple.

[zork]

=>
pourquoi G=? simple ca veut dire que les seuls sous groupe distingué de G sont lui même et {e}

[Ben314]

=>
pourquoi G=? simple ca veut dire que les seuls sous groupe distingué de G sont lui même et {e}

Remarque (rappel ?) : si G est commutatif, le mot "distingué" ne sert plus à grand chose dans la phrase...