Intégrale double et additivité des domaines

[acrisa79]

Bonjour,

Comment peut-on démontrer la propriété suivante :

Si f est une fonction intégrable dans D et D est l'union des domaines D1 et D2 et si de plus l'union de D1 et D2 est un ensemble vide alors :

(DoubleIntégrale sur D).f(x,y)dx.dy = (DoubleIntégrale sur D1).f(x,y)dx.dy + (DoubleIntégrale sur D2).f(x,y)dx.dy

Désoler pour la présentation j'espère que c'est compréhensible.

Merci

[mrif]

Bonjour,

Comment peut-on démontrer la propriété suivante :

Si f est une fonction intégrable dans D et D est l'union des domaines D1 et D2 et si de plus l'union de D1 et D2 est un ensemble vide alors :

(DoubleIntégrale sur D).f(x,y)dx.dy = (DoubleIntégrale sur D1).f(x,y)dx.dy + (DoubleIntégrale sur D2).f(x,y)dx.dy

Désoler pour la présentation j'espère que c'est compréhensible.

Merci

Dans l'énoncé, il faut remplacer la partie en gras par:"et si de plus l'intersection de D1 et D2 est un ensemble vide".

Le résultat que tu cherches à démontrer est une hypothèse pour toute mesure, et en particulier la mesure de Lebesgue. C'est comme si on sait que 0 est l'élément neutre dans un ensemble E, muni d'une loi +, et tu cherches à démontrer que pour tout x dans E, on a: x+0 = x.