Raisonnement par récurrence.

[kinou56]

Bonjour, on commence le raisonnement par récurrence mais je comprends pas trop, alors si vous pouvez m'aider pour ces deux exso s'il vous plait.

ex1:
(un) est la suite définie par u0 = 1 et un+1 = racine(2+un) pour tout entier naturel n.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un <2.

ex2:
(un) est la suite définie par u0=1 et un+1 = 10un-9n-8 pour tout entier naturel n.
1) CAlculer u1,u2,u3 etu4.
2) Conjecturer une expression de un en fonction de n.
3) Démontrer cette conjecture par récurrence.

merci

[praud]

Pour n=0,ca marche.
Supposons que un<2 pour le rang n et demontrons le au rang n+1.
un<2 donc un+2<4 alors racine(2+un)Don la propriéte est vrai pour tout N

[haydenstrauss]

La méthode de la recurence se fait en trois etape :


initialisation :

Demontre que la propriété (e que on ta dit de démontrer) marche au premier rang (ici 0)


hérédité :

on supose que la proriété est vrai a un rang n fixé.
tu part de la propriété et toi ton but c'est d'arriver au rang suivant exemple
on part de :



tyu doi arrivé par un procédé a:




conclusion :

toujours la meme :
La propriété est vrai a un rang n fixé et est hériditaire donc la propriété est vrai qq soit n

[kinou56]

pour n = 0
u0 = 1
un+1 = racine3