Variables gaussiennes indépendantes

[Collap35]

Bonjour,

"Soient X, Y deux v.a. indépendantes de lois respectives et . Montrer que (X+Y)² et (X-Y)² sont deux v.a. indépendantes ssi ."

Si , on montre que les v.a gaussiennes X+Y et X-Y sont indépendantes car la covariance est nulle, puis on en déduit que (X+Y)² et (X-Y)² sont indépendantes car
P((X+Y)²<t, (X-Y)²<s) = P(-sqrt(t)<X+Y<sqrt(t), -sqrt(s)<X-Y<sqrt(s)) = P((X+Y)²<t)*P((X-Y)²<s) par indépendance de X+Y et X-Y.

Mais comment montre-t-on l'implication réciproque ?

[mr_pyer]

Mais comment montre-t-on l'implication réciproque ?

Bonsoir,

Lemme classique : Si alors où .
(les variables sont supposées indépendantes).

On on calcule la loi de la somme de deux manières différentes :
(1) (ici on n'utilise pas l'hypothèse d'indépendance des carrés de X-Y et X+Y).
(2) .

Il te reste juste à vérifier que (1) et (2) ont même loi ssi (la transformée de Laplace se prête très bien à cet exercice)...

[Collap35]

Merci ! :)