Devoir Maison sur les vecteurs

[Iroto]

Bonjour, j'ai un devoir maison sur les vecteurs, j'ai quelques petits problèmes et je ne sais pas si ce que j'ai fait est juste:

Soit un triangle ABC non aplati.
H est le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC).
on pose a= BC, b=CA, c=AB
1. Démontrer que CA^2= BA^2+ BC^2- 2*vec(BA).vec(BC). En déduire vec(BA).vec(BC) en fonction de a,b,c puis BH en fonction de a,b,c.

CA^2= vec(CA)^2 = ( vecCB+ vecBA) ^2
=vec CB^2 + 2vec BA.vec CB+ vec BA^2
=Vec BA^2 + vec CB^2 - 2vecBA.vecBC

Donc b^2= c^2+ a^2- 2vecBA.vecBC
Donc vecBA.vecBC= (c^2+a^2-b^2)/2
D'après l'énoncé, vec BA=BH ( H projeté orthogonal de A sur BC)
Donc vecBH.vecBC=(c^2+a^2-b^2)/2
Or vec BH et vec BC sont de même sens donc vecBH.vecBC= BH*BC
Don d'après l'égalité du haut, BH=c^2+a^2-b^2
Est ce juste? Je ne suis pas très sûr.
2) Avec pythagore, montrer que 4a^2* AH^2= (2ac)^2 -(c^2+a^2-b^2)^2 et en déduire que 4a^2* AH^2= (b-a+c)(b+a-c)(a+c-b)(a+c+b).

4a^2* AH^2= 4a^2*(AB^2- BH^2)
= 4a^2 *( c^2- BH^2)
= (2ac)^2 - 4a^2* BH^2
= (2ac)^2 - 4a^2* (c^2+a^2-b^2)^2

Mon problème ici c'est le 4a^2 après le moins, il ne devrait pas être la, est ce que j'ai fait une faute quelque part? Et du coup pour la deuxième déduction de calcul je pensais qu'il fallait utiliser l'identité remarquable a^2-b^2 et développer mais je ne trouve pas les 4 parenthèses qu'on me donne à cause du (2ac)^2... Ce n'est pas la bonne méthode ?

3) on a S l'aire de ABC et p le demi-périmètre de ABC: p=(a+b+c)/2. Démontrer que S=racine ( p(p-a)(p-b)(p-c)).
J'ai développé et j'en suis à (a^2-c^4+b^4-a^4)/2
Je pense donc que je me suis trompé, quelle méthode devrais je utiliser?

[chan79]

tu as
mais

tu en déduis BH
et tu pourras continuer

[Iroto]

Et donc si je fais: (a^2+c^2-b^2)/2= a.BH, je n'ai pas le droit de "diviser" par a pour isoler BH, ou si ?

[chan79]

Et donc si je fais: (a^2+c^2-b^2)/2= a.BH, je n'ai pas le droit de "diviser" par a pour isoler BH, ou si ?

Bien-sûr que si. Ce sont des égalités entre nombres.
a n'est pas nul.

[Iroto]

D'accord je vais voir ça, encore une question, pour la question 3) Ave l'aire, est ce que je dois utiliser la formule A=(a*h)/2, et remplacer par les valeurs, parce que du coup en remplaçant h par AH je me suis peut être trompé mais j'ai obtenu une formule avec des x^4:
S= (a^2-c^4+b^4-a^4)/2