Unicité de la solution dans le cas de l'équation de Laplace

[shtefi]

Bonjour à tous,

Je vous écrit l'énoncé de la démonstration de mon manuel d'électrostatique que me fait beaucoup réfléchir.

Considérons un ensemble de surfaces identifiées par l'indice i (i = 1, 2, 3, ...). Sur chacune d'elles, un potentiel noté Vi est imposé. Le potentiel électrostatique v(r) doit vérifier en tout point r, l'équation de Laplace et satisfaire à l'ensemble des conditions aux limites : V = Vi sur la ième surface. Supposons qu'il existe 2 solutions distinctes V1(r) et V2(r) remplissant ces conditions. Recherchons la solution correspondant à la condition V1 = 0 sur toutes les surfaces. D'après le principe de superposition, cette solution vaudra Vs(r) = V1(r) - V2(r) dans tout l'espace. Comme Vs vaut 0 sur toutes les surfaces et à l'infini, il existe nécessairement un point E de l'espace n'appartenant pas aux surfaces Si pour lequel le potentiel Vs est un extremum. Par ailleurs, les solutions de l'équation de Laplace présentent une propriété connue sous le nom de théorème de la valeur moyenne qui nous dit que la valeue moyenne du potentiel sur une sphère quelconque est égale à sa valeur au centre de cette sphère. Si nous appliquons ce théorème à une sphère centrée sur E, la valeur moyenne du potentiel sur la sphère devrait être égale à Vext, mais par construction de la sphère et par définition de l'extremum, elle est nécessairement inférieure ou supérieure à Vext. Cette incompatibilité montre que Vs(r) ne peut être constant. Par continuité avec le potentiel nul à l'infini, Vs(r) est donc nul. On peut ainsi conclure qu'en tout point de l'espace V1(r) = V2(r) et que la solution de l'équation de Laplace est unique.

Voici donc mes questions :
- Pourquoi recherche-t-on la solution correspondant à la condition V1 = 0 sur toutes les surfaces ? En quoi cela nous aide à prouver que la solution de l'équation de Laplace est unique ?

- Pourquoi y a-t-il nécessairement un point E de l'espace pour lequel le potentiel Vs est un extrémum ?

- Pourquoi Vs(r) ne peut être que constant ?

Voilà donc autant d'interrogations qui m'empèchent de comprendre cette démonstration. Je vous remercie d'avance pour votre (vos) précieuse(s) aide(s) !

[khivapia]

je ne me souviens plus bien de la démonstration, mais je peux essayer de fournir quelques explications :

première question : en fait on considère deux solutions V1 et V2 de V telles que V1(r) = V2(r) = Vi sur la plaque i. On a affaire à une équation linéaire, donc V1-V2 = 0 sur les plaques et V1-V2 est une solution.
On montre donc que toutes les solutions ayant un potentiel nul sur toutes les plaques sont la solution nulle.

Deuxième question : Si V = 0 sur une plaque, et que V = 0 à l'infini, de deux choses l'une : soit V = 0 tout point est un extrémum.
Soit V != 0 en un point, et alors en passant de la plaque à potentiel nul à l'infini on passe de 0 à 0 en passant par un point où V n'est pas nul, il y aura forcément un extrémum (rappelons que V est continu ! )
Analogue à une dimension : la fonction x donne x/(x^2+1) vaut 0 en 0, 0 à l'infini etdonc passe nécessairement par un extrémum (théorème de Rolle !)

Troisième question : si l'extrémum est strict (c'est-à-dire V non constant) valeur de l'extrémum = valeur moyenne sur la sphère. Or toutes les valeurs sur la sphère sont < ou >à l'extrémum (suivant si c'est un max ou un min) et donc la valeur moyenne est > ou < à l'extrémum. Contradiction. Donc V constant.

En espérant avoir éclairci un peu la démonstration...

[shtefi]

Merci beaucoup pour ton aide, elle m'a été d'une précieuse aide car j'ai enfin compris toutes les zones deombre de cette démonstration.