Une masse entre deux ressorts.

[Anonyme]

OurtIrfArf.

[Black Jack]

F1 force sur M par le ressort 1 (vers le haut) : F1 = k.(x1 - Lo)

F2 force sur M par le ressort 2 (vers le bas) : F2 = k.(x2 - Lo)

Effort sur M (vers le bas) : FM = mg + k.(x2 - Lo) - k.(x1 - Lo)

FM = mg + k.(x2-x1)

mg + k.(x2-x1) = m.d²x1/dt²
*****

Mais, on a aussi F2 = F = alpha.t

k.(x2 - Lo) = alpha.t
x2 = Lo + (alpha/k).t

--->

mg + k.(Lo + (alpha/k).t - x1) = m.d²x1/dt²

m.d²x1/dt² + k.x1 = mg + k.(Lo + (alpha/k).t)

d²x1/dt² + (k/m).x1 = g + (k/m).(Lo + (alpha/k).t)

... Cela si le montage est vertical.
*****

Toutes erreurs incluses.

:zen:

[Anonyme]

F1 force sur M par le ressort 1 (vers le haut) : F1 = k.(x1 - Lo)

F2 force sur M par le ressort 2 (vers le bas) : F2 = k.(x2 - Lo)

Effort sur M (vers le bas) : FM = mg + k.(x2 - Lo) - k.(x1 - Lo)

FM = mg + k.(x2-x1)

mg + k.(x2-x1) = m.d²x1/dt²
*****

Mais, on a aussi F2 = F = alpha.t

k.(x2 - Lo) = alpha.t
x2 = Lo + (alpha/k).t

--->

mg + k.(Lo + (alpha/k).t - x1) = m.d²x1/dt²

m.d²x1/dt² + k.x1 = mg + k.(Lo + (alpha/k).t)

d²x1/dt² + (k/m).x1 = g + (k/m).(Lo + (alpha/k).t)

... Cela si le montage est vertical.
*****

Toutes erreurs incluses.

:zen:

Hello Black Jack ,

En faite, là tu considères que F(t) = F2, mais est-ce forcément le cas ? Moi j'avais compris qu'on tiré sur le ressort 2 vers le bas pour l'étirer, du coup F(t) n'est pas égale à F2 ou je me trompe ? Ce n'est pas très clair..

Merci d'avance .

[Anonyme]

Ah et autre chose, peut-être important, et étourderie de ma part de ne l'avoir pas écris, avant d'établir l'équation du mouvement, il est demandé d'écrire le bilan des forces pour la masse M et pour le ressort du bas, d'où mon interrogation sur ta façon de procéder, mais peut-être que je me trompe ?

Merci bien !

[Black Jack]

Je me trompe peut-être, mais les ressorts sont supposés sans inertie et alors, pour moi F2 = F

En poursuivant les calculs j'ai abouti à ceci :

sin((lc-Lo)*alpha/V(k.m)) = (g/alpha).V(k.m)
avec évidemment (g/alpha).V(k.m) <= 1

C'est la condition qui donne alpha pour que les 2 ressorts cassent au même moment.

Mais ceci, avec F2 = F que je pense, peut-être erronément, juste.

:zen:

[Anonyme]

Re, :)

OK, je vais continuer sur cette supposition, je verrai bien ce qui se passe. Je te tiens au courant de la suite quand j'ai un peu progressé dans l'exo.

Merci bien en tout cas ;).

[Anonyme]

Re,

Ok alors j'ai aussi poursuivi le calcul et tenté de résoudre l'équation du mouvement, pour trouver x1.

J'aboutis à :

x1(t) =

J'espère ne pas avoir commis d'erreur dans la résolution de l'équa. diff..

Pour la condition sur alpha, je ne suis pas sûr de saisir comment tu en es arrivé là, tu pourrais préciser un peu ?

Merci d'avance .

[Black Jack]

Re,

Ok alors j'ai aussi poursuivi le calcul et tenté de résoudre l'équation du mouvement, pour trouver x1.

J'aboutis à :

x1(t) =

J'espère ne pas avoir commis d'erreur dans la résolution de l'équa. diff..

Pour la condition sur alpha, je ne suis pas sûr de saisir comment tu en es arrivé là, tu pourrais préciser un peu ?

Merci d'avance .

Je pense qu'il manque Lo dans ton équation de x1(t)

Je suis arrivé à : x1(t) = A.sin(V(k/m).t) + B.cos(V(k/m).t) + mg/k + Lo + (alpha/k) * t

et on peut remplacer le "A.sin(V(k/m).t) + B.cos(V(k/m).t)" par A.cos(V(k/m).t + Phi) si on veut.

Il faut ensuite déterminer les valeurs de A et B (ou A et Phi) à partir des conditions initiales, qui sont x1(0) = Lo + mg/k (position de repos avec F = 0)
et dx1/dt(0) = 0 (vitesse nulle de M au départ)

Sauf erreur on trouve alors : x1(t) = -alpha.V(m/k³).sin(V(k/m).t) + mg/k + Lo + (alpha/k) * t

et bien entendu aussi : x2(t) = Lo + (alpha/k) * t

Si on veut que les 2 ressorts cassent en même temps, c'est forcément pour un instant t1 tel que x1(t1) = x2(t1) = Lc

Et en exprimant cette égalité, on arrive à : sin((Lc-Lo)*alpha/V(k.m)) = (g/alpha).V(k.m)
qui donne le alpha pour lequel cela arrive.

Toujours, toutes erreurs incluses.

:zen:

[Anonyme]

Je pense qu'il manque Lo dans ton équation de x1(t)

Je suis arrivé à : x1(t) = A.sin(V(k/m).t) + B.cos(V(k/m).t) + mg/k + Lo + (alpha/k) * t

et on peut remplacer le "A.sin(V(k/m).t) + B.cos(V(k/m).t)" par A.cos(V(k/m).t + Phi) si on veut.

Il faut ensuite déterminer les valeurs de A et B (ou A et Phi) à partir des conditions initiales, qui sont x1(0) = Lo + mg/k (position de repos avec F = 0)
et dx1/dt(0) = 0 (vitesse nulle de M au départ)

Sauf erreur on trouve alors : x1(t) = -alpha.V(m/k³).sin(V(k/m).t) + mg/k + Lo + (alpha/k) * t

et bien entendu aussi : x2(t) = Lo + (alpha/k) * t

Si on veut que les 2 ressorts cassent en même temps, c'est forcément pour un instant t1 tel que x1(t1) = x2(t1) = Lc

Et en exprimant cette égalité, on arrive à : sin((Lc-Lo)*alpha/V(k.m)) = (g/alpha).V(k.m)
qui donne le alpha pour lequel cela arrive.

Toujours, toutes erreurs incluses.

:zen:

Re,
Merci pour l'explication

Le truc c'est que dans l'énoncé, il est précisé que la longueur au repos du ressort, est très petite, entre parenthèse : 0. Du coup le Lo vaut justement 0 il me semble. Non ?

Merci bien.

[Black Jack]

Re,
Merci pour l'explication

Le truc c'est que dans l'énoncé, il est précisé que la longueur au repos du ressort, est très petite, entre parenthèse : 0. Du coup le Lo vaut justement 0 il me semble. Non ?

Merci bien.

On peut écrire que la longueur à vide est 0 ... mais c'est, en pratique, absurde.

Cependant cela ne changera pas vraiment les calculs.
On peut toujours remplacer Lo par 0 partout dans les calculs.

On peut aussi penser qu'il manque un L dans l'énoncé et que l'auteur a voulu écrire " ... de longueur au repos égale à L0" et pas " ... de longueur au repos égale à 0"

Va savoir.

:zen:

[Anonyme]

On peut écrire que la longueur à vide est 0 ... mais c'est, en pratique, absurde.

Cependant cela ne changera pas vraiment les calculs.
On peut toujours remplacer Lo par 0 partout dans les calculs.

On peut aussi penser qu'il manque un L dans l'énoncé et que l'auteur a voulu écrire " ... de longueur au repos égale à L0" et pas " ... de longueur au repos égale à 0"

Va savoir.

:zen:

Lol oui c'est aussi une possibilité .

Merci pour le coup de main !

A bientôt. :lol3:

[Benjamin]

On peut écrire que la longueur à vide est 0 ... mais c'est, en pratique, absurde.

Salut,

Je voudrais rebondir sur ceci pour une petite digression. C'est en effet en pratique absurde de dire que l0 = 0. De même que ça l'est dans l'énoncé d'ailleurs.

Ce qu'on peut faire en physique en revanche, c'est négliger une grandeur devant une autre. Quand on dit par exemple "on négligera la masse du ressort", c'est parce qu'il y a dans ce même problème d'autres masses mis en jeu bien plus important. Si on étudie l'accélération d'un ressort qui est tout seul dans la nature, il faudra bien prendre en compte sa masse.

Ainsi, si ça peut simplifier les calculs (et si c'est réellement justifié) on pourrait par contre dire "on considérera que Lc >> L0 ce qui revient à remplacer toutes les sommes genre Lc + L0 par Lc ou encore toutes les sommes du genre 1 + L0/Lc par 1.

A+

[Black Jack]

Salut,

Je voudrais rebondir sur ceci pour une petite digression. C'est en effet en pratique absurde de dire que l0 = 0. De même que ça l'est dans l'énoncé d'ailleurs.

Ce qu'on peut faire en physique en revanche, c'est négliger une grandeur devant une autre. Quand on dit par exemple "on négligera la masse du ressort", c'est parce qu'il y a dans ce même problème d'autres masses mis en jeu bien plus important. Si on étudie l'accélération d'un ressort qui est tout seul dans la nature, il faudra bien prendre en compte sa masse.

Ainsi, si ça peut simplifier les calculs (et si c'est réellement justifié) on pourrait par contre dire "on considérera que Lc >> L0 ce qui revient à remplacer toutes les sommes genre Lc + L0 par Lc ou encore toutes les sommes du genre 1 + L0/Lc par 1.

A+

Je te rejoins complètement la dessus.

Cependant, dans le problème posé, supposer que Lc > > Lo n'amène pas de vraies simplifications dans les calculs ... sauf si j'ai raté une marche quelque part, ce qui est possible.

Et de plus, Lc > > Lo est faux pour la majorité des ressorts.

Cela me choque que l'on fasse une approximation qui n'a aucun intérêt calculatoire et qui est pour le moins "discutable" en pratique.


:zen:

[Anonyme]

Re,

Salut Benjamin, merci pour la précision, un avis supplémentaire est toujours intéressant.
Je sais que l'énoncé est un peu tordu à ce niveau là, mais bon admettons.. :lol3: