Théorème de Gauss => Champs électrostatique

[Kalou94]

Bonjour,

J'ai une petite question sur le cours au niveau du TH de Gauss. J'ai l'exercice suivant :

Un conducteur sphérique de centre 0 et de rayon R chargé avec une densité surfacique constante positive .

1/ Trouver l'expression du champs électrostatique, en utilisant le théoreme de Gauss, crée dans les différentes régions de l'espace.

Voilà la correction :

On applique le théorème de Gauss sur une sphère de centre 0, de rayon r = OM. On a :
s(E) = SS E.ds (avec S = intégrale et E.ds souligné = vecteur)

E est radial, ds = ds.n = ds.er
E et ds colinéaires, donc : s(E) = SS E.ds = SS E.ds
= SS E.r².sin;).d;).d;)

Il s'agit de la chose en rouge que je ne comprends pas. Qu'est ce que veux dire ds = ds.n = ds.er (souligné = vecteur) ?

[Benjamin]

Bonjour,

en fait, ce n'est pas mais . C'est aussi un vecteur. Ensuite, , c'est la définition de , où représente le vecteur normal unitaire à la surface (localement). Pour une surface fermée (comme ta sphère), ce vecteur est sortant du volume. Sinon, il faut orienté la ligne sur laquelle s'appuie la surface et utilisé la règle du tire-bouchon.

Ici, tu as une sphère donc localement, est bien le vecteur normal unitaire à la surface, en tout point. Pour tout M de la sphère, . Et on peut donc le sortir de l'intégrale.

[vingtdieux]

Ton er est donc un vecteur unitaire qui s'ecrit r/|r| = n , car on a une symétrie sphérique pour ce problème.

[Kalou94]

Merci beaucoup !

[Kalou94]

Alors finalement, j'ai deux dernières petites questions :/

1) Comment bien comprendre sous quelles bornes on doit intégrer lorsqu'on calcule le flux de (E) ? Sur le cours, j'ai triple intégrale (car c'est un exemple sur une sphère de densité volumique) intégré avec R1, R2 et r etc... alors qu'en surfacique sur l'exercice, la premiere intégrale est de 0 à 2pi et la deuxième de 0 à pi. Et sur un autre exemple du cours sur un fil infini, une des intégrales se fait de 0 à l. Comment savoir si on doit intégrer par rapport au rayon, à pi ou autre ?

2) Quel est l'élèment de surface d'un fil infini (enveloppé d'un cylindre). Dans mon cours, j'ai ds r.dr.d;) mais je pensais que ca revenait au même que l'élèment de surface qu'un cylindre (puisque ce dernier l'entoure). Or le vecteur ds d'un cylindre, c'est r.d;).dz.

Merciiii

[Benjamin]

Bonsoir,

Tu dois calculer Qint, c'est-à-dire la charge totale contenue à l'intérieur de ta surface de Gauss. Si la distribution de charges à l'intérieur de cette surface est volumique, tu fais une intégration volumique (SSS rho dtau) et si elle est surfacique tu fais une intégration surfacique (SS sigma ds).

Pour la 2), tout dépend de ton repère et de tes notations. ds peut être égale à plein de choses. Difficile d'en dire plus sans plus de précisions.

A+

[Kalou94]

En fait je parlais de comment savoir pour les bornes, genre de 0 à pi, de 0 à 2pi etc ?
Je m'explique :

Exercice sur un conducteur cylindrique de Rayon R chargé avec une densité volumique constante positive rho :

On calcule le flux avec (S = intégrale) : S(de 0 à 2pi)S(de 0 à h)E.r.d;).dz = 2pi.h.r.E

avec "h", hauteur du cylindre.

Sur un autre exercice avec un fil infini (on applique le théorème de Gauss en enveloppant le fil par un cylindre de même longueur que le fil).

On calcule le flux avec (S = intégrale) : S(de 0 à L)S(de 0 à 2pi) r.dr.d;) = E.2pi.r.L.

Comment savoir les bornes à mettre et lesquelles en premier ? (Dans le premier exemple on à la hauteur en deuxième borne, dans le deuxième exemple, la longueur du fil est mis en borne de la deuxième intégrale).

[Benjamin]

Là encore, tout dépend de comment tu définis ton volume/ta surface infinitésimal. Certains choix sont plus judicieux que d'autres. Ce qui compte, c'est de couvrir le domaine correctement.

Par exemple, dans un repère de coordonnées sphériques, il est classique de prendre ds=r²*sin(theta)*dtheta*dphi.
Pour savoir pour les bornes, il faut comprendre les termes de ds.
Tu as d'un côté r*dtheta qui fait la longueur de l'arc de cercle que décrit ton rayon sur la surface de ta sphère quand il se déplace de dtheta.
r*sin(theta) est la longueur du rayon projeté, qui multipliée par dphi donne la longueur de l'arc de cercle qui forme l'autre côté de ta surface ds.

Seulement, r*sin(theta) est vrai seulement si theta est compris entre 0 et Pi ! Sinon, il faut prendre après -r*sin(theta).

Donc, tu as theta entre 0 et PI et du coup, phi entre 0 et 2PI.
Ainsi, S=SS r²*sin(theta)*dtheta*dphi = r²([cos(theta)]0..PI)*2PI=r²*(1-(-1))*2PI=4PIr². On retrouve bien la surface de la sphère.

Ou, si tu veux prendre theta entre 0 et 2PI et (donc) phi entre 0 et PI.
S=SS r²*sin(theta)*dtheta*dphi avec theta entre 0 et PI + SS -r²*sin(theta)*dtheta*dphi avec theta entre PI et 2*PI
Alors S=r²([cos(theta)]0..PI)*PI+r²([cos(theta)]2PI..PI)*PI=r²PI*(1-(-1)+1-(-1))=4PIr².

On retombe bien sûr sur le même résultat. Mais une façon est plus simple qu'une autre ;)

[Kalou94]

Génial ! J'ai tout compris !

Et une dernière question pour la route:

J'ai cru comprendre que :

Volumique : Triple intégrale SSS .d;)
Surfacique : Double intégrale SS .ds
Mais, linéaire : Simple intégrale S .dl ?

[Billball]

Génial ! J'ai tout compris !

Et une dernière question pour la route:

J'ai cru comprendre que :

Volumique : Triple intégrale SSS .d;)
Surfacique : Double intégrale SS .ds
Mais, linéaire : Simple intégrale S .dl ?

oui c'est bien ça, avec lmbda densite linéique , enfin ou est la question? :hein:

[Benjamin]

C'est ça modulo le fait que tu as inversé rho et sigma dans tes formules ;) (d'après les conventions classiques, tu as bien le droit d'appeler sigma la densité volumique et rho la densité surfacique, mais ce n'est pas l'usage ^^)

[Kalou94]

Alors merci ! :)

[zakia]

slm stp si on a une distribution volumique dans une sphère creuse de rayon R1intérieur et R2 extérieur après le theorème de gauss on va distinguer les cas par exemple si on a r entre R1 et R2
comment faire intégrer ..on a le flux est égal 4pi r2 e(r) =segma dv