1 ressort avec 2 masses

[odelsaint]

Bonsoir,
Voici mon sujet :

Un ressort supposé parfait, de longueur l au repos, de raideur k relie deux masses ponctuelles m1 et m2, mobiles sans frottement sur une tige horizontale, repérées par leurs abscisses x1et x2 (x1>x2)

1) On fixe la masse m2 à la position x2=0. Etudier le mouvement de m1 abandonné à l’instant 0, à l’abscisse x1 = 3/2 l. Quelle est la valeur de la période T1 ?

Application numérique : m1 = 100 g ; k = 10N/m

2) La masse m2 est mobile. A l’instant 0, les deux masses sont sans vitesse aux abscisses x10 et x20, et l’origine des abscisses sera prise au barycentre des deux masses à l’instant 0. Soit x1e et x2e, les positions d’équilibre des deux masses.
a) Trouver la relation entre les vitesses x’1 et x’2 des deux masses.
b) Trouver la relation entre les positions x1et x2 des deux masses.
c) En posant X = x1- x2, écrire l’équation X(t) ; montrer que la période T du mouvement s’exprime en fonction de la période propre T1, de x10 et x20.

Application numérique : x10 = 1cm ; x20 = - 2cm ; x1e = 2cm ; x2e = - 4cm.

Je crois avoir trouvé la réponse pour la question 1), mais je ne suis pas sûr. J'ai trouvé F1=2pi rac(m1/k) mais mon raisonnement ma paraît assez obscur.
Pour la question 2)a), je ne comprends pas ce qu'il faut faire : je dirais bien F1=F2, mais comment sait-on que l'accélération du barycentre est nulle? En faisant cela, j'ai l'impression de trouver les positions des deux masses pour trouver leurs vitesses alors que les questions sont inversées, je dois donc me tromper.
Pour la suite, je ne vois pas du tout comment faire.
Merci d'avance de votre aide.

[flaja]

bonsoir,
1) T1 = 2pi rac(m1/k) <--------- OK
quand on écrit l'équation du mouvement : m1 x'' = -k(x-l) ou m1 x'' + kx = k l
on sait que x = a cos(omega t-phi) + x0,
avec x = a cos(omega t-phi) solution de l'équation sans second membre : m1 x'' + kx = 0
x0 étant une solution particulière : ici x0 = l
en remplaçant x par sa valeur on trouve omega = sqrt(k/m1) d'où T1

2) Faire le bilan des forces : il n'y a pas de forces extérieures dont G ....
(On se retrouve avec 2 problèmes semblables au précédent)
a) -> exprimer x'G en fonction de x'1 et x'2, comme x'G= ... => la relation demandée
b) -> intégrer l'équation précédente : cela ajoute une constante à déterminer par l'état initial, mais comme l'origine est en G ...
c) -> exprimer x1 en fonction de x2 et X en fonction de x1 que l'on remplace dans l'équation du mouvement d'une des 2 masses.
on obtient une équation semblable à x'' + kx = k l mais avec X comme variable.

[odelsaint]

merci flaja.
bon, maintenant, je crois avoir testé toutes les possibilités que vous avez essayé de ma faire trouver, sauf que je ne trouve pas..
j'ai pris (m1 + m2) comme système, j'obtiens donc x''G=k(x2-x1)/(m1+m2)
comme g est le barycentre on a : xG=(m1*x1+m2*x2)/(m1+m2)
Si c'est juste, comment fait-on pour intégrer x''G et dériver xG? La variable est bien x, je n'y arrive pas! au fait x'G=0, non?(comme c'est le barycentre, il ne bouge pas)
merci de votre aide
odelsaint

[flaja]

comme xg est pris comme origine : xg=0 => x'g=0
d'où les relations ...