Relations de dispersion dans un conducteur 2D

[MaxUCBL]

Bonjour,
j'aurais besoin d'aide pour comprendre comment on trouve différentes relations de dispersion suivant la direction dans un réseau monoatomique 2D de paramètre a. Les atomes sont couplés par une constante de rappel C et sont de masse M1.

On considère u(l,m) le déplacement relatif par rapport à sa position d'équilibre de l'atome situé ligne l colonne m. Cela donne comme équation de mouvement :

M1*d²u(l,m)/dt² = C [u(l+1,m) + u(l-1,m) -2u(l,m) + u(l,m+1) + u(l,m-1) - 2u(l,m)] (1)

On pose u(x,y)=A*exp(i(t- k(x)*x- k(y)*y) comme déplacement. En le reportant dans (1), je trouve une relation de dispersion (je ne sais pas pour quelles directions elle est valable, toutes peut-être) :

ω(k(x),k(y)) = 2 [ √(C/M1) * √[1 - cos(a*(k(x) + k(y))/2))*cos(a*(k(x) - k(y))/2))]] (2)
(En injectant u(x,y) dans (1) j'ai posé x=l*a, y=m*a puis x=(l±1)*a et y=(m±1)a selon les termes.)
Ce premier résultat est-il correct?

Ensuite on représente la première zone de Brillouin du réseau de centre Γ. On considère le point X de coordonnées (π/a,0) et M (π/a,π/a). Et c'est ici que je ne vois pas comment faire : on demande de trouver la et représenter la relation de dispersion ω(k) le long de ΓX puis de ΓM. Que faut-il faire? Qu'est-ce qui change par rapport à la relation (2)?

Merci d'avance pour vos réponses.

P.S. : on demande aussi la fréquence maximale autorisée dans les deux directions (suffit-il de prendre le maximum possible pour ω?). Ensuite il y a la vitesse du son, il me semble que c'est la dérivée de ω avec k tendant vers 0. Et enfin, des relations de Born Von Karman dans les deux directions, on doit en déduire les composantes de k.

[Sake]

Salut,

Comme tu l'as dit sur l'Île Physique, ta relation est inhomogène car k est une grandeur qui a la dimension de l'inverse d'une longueur. l+1 est un indice, c'est un entier qui t'indique à quelle position (selon la coordonnée longitudinale) tu te trouves dans ton réseau. La position du point indicé par le couple (l+1,m) est ((l+1)*a,m*a) où on suppose que a est la distance interatomique.

[MaxUCBL]

D'accord merci, mais du coup est-ce que la relation de dispersion en gras est bonne (il y a bien la longueur a dedans)?

Puis avec Γ(0,0), X (π/a,0) et M (π/a,π/a) dans le réseau réciproque, quelle est la relation de dispersion ω(k) le long de ΓX puis de ΓM? Comment faire pour la trouver?

Au pire si ce que je demande paraît flou, plus généralement : comment change la relation de dispersion selon différentes directions dans le réseau réciproque? Que faut-il changer? Le produit scalaire vecteur d'onde - direction? Comment cela se traduit mathématiquement?

[pascal16]

j'ai pas suivi, mais, sauf erreur de ma part :
1 - cos(a*(k(x) + k(y))/2))*cos(a*(k(x) - k(y))/2))
=1 - cos²(a*k(x) /2)+sin²(a* k(y)/2)
= sin²(a*k(x) /2)+sin²(a* k(y)/2)
et avec la racine, on a une "norme2 sur les sinus"