Rayon de courbure decroissant implique Rayon decroissant ?

[math-ieu]

Bonjour les matheux,

J'ai une courbe continue, par exemple exprimee en polaire : Rho(theta)
Rho conserve un signe constant

Je cherche à demontrer qu'un rayon de courbure de cette courbre qui est décroissant en fonction de theta implique une decroissance de Rho(Theta). Rc' <0 ==> Rho' < 0

CF. la spirale.
Je recontre des difficultés : J'ai dérivé l'expression du Rc par rapport à theta pour voir si j'arrivais à deduire qq chose de Rc'<0. Sans succès.

Est-ce que je cherche à prouver est démontrable ?
Si oui, est ce dejà formulé sous forme d'un theoreme?
Si c'est faisable mais non formulé, l'un d'entre vous pourrait il me donner les elements pour le demontrer ?

Par avance merci.
Math-ieu

[L.A.]

Bonjour.

Pour moi les deux choses n'ont absolument aucun lien... le rayon de courbure en un point ne dépend que l'allure locale de la courbe, tandis que les variations du rayon dépendent entre autres de la position de l'origine, du sens de parcours, etc...

Si tu prends le cas d'une droite, le rayon de courbure est constant (infini, la courbure est nulle) mais le rayon est décroissant puis croissant. Si tu prends une branche de parabole dont le sommet est à l'origine, parcourue de l'origine à l'infini, le rayon de courbure décroit mais le rayon augmente.

Il y a des tas de contre exemples, et à mon avis il faut rajouter des tas d'hypothèses pour réussir à prouver quelque chose de ce genre...

[math-ieu]

Bonjour.

Pour moi les deux choses n'ont absolument aucun lien... le rayon de courbure en un point ne dépend que l'allure locale de la courbe, tandis que les variations du rayon dépendent entre autres de la position de l'origine, du sens de parcours, etc...

Si tu prends le cas d'une droite, le rayon de courbure est constant (infini, la courbure est nulle) mais le rayon est décroissant puis croissant. Si tu prends une branche de parabole dont le sommet est à l'origine, parcourue de l'origine à l'infini, le rayon de courbure décroit mais le rayon augmente.

Il y a des tas de contre exemples, et à mon avis il faut rajouter des tas d'hypothèses pour réussir à prouver quelque chose de ce genre...

D'accord avec ton analyse, mais je ne trouve pas d'exemple qui prouve le contraire de ce que je veux démontrer. Rc decroissant ==> R decroissant

Je conisdere l'exemple de la spirale
Elle est plane puis son rayon de courbure est décroissant avec thêta,
et son rayon decroit.

[Valentin03]

Je suis sans doute le dernier des nuls; mais il me semble que le mot "rayon" concerne le cercle.
Quand au "rayon de courbure", il implique qu'il y ai une ("1") courbure (aussi constante que l'est le cercle)
La courbure étant une partie de cercle.
Si la courbure varie, le "pseudo rayon" ne lui est plus lié que par des équations de out of no where.
Ce que L.A. a parfaitement mis en lumière.

[L.A.]

En effet, mon exemple de la parabole n'est pas bon puisque c'est la courbure qui décroit, le rayon de courbure lui croît.

Je vois mieux ce que tu veux dire, mais de toute façon il reste un problème de choix de l'origine, puisque si tu prends une spirale qui ne "converge" pas vers l'origine, alors le rayon ne sera pas monotone mais oscillera en général. La question est donc "pour une courbe paramétrée donnée dont le rayon de courbure est strictement décroissant, est-ce qu'il existe un choix d'origine tel que le rayon est décroissant ?" (décroissant n'est pas suffisant comme le prouve le contre exemple de la droite)

Peut être faut-il d'abord montrer la "convergence" d'une telle courbe puis choisir l'origine en fonction de ceci, sachant qu'elle peut "converger" vers un cercle comme

\rho(\theta) = 1+\exp(-\theta)

(j'ignore si son rayon de courbure est décroissant mais si ce n'est pas le cas on doit pouvoir modifier légèrement le contre exemple). Il faut donc éventuellement distinguer selon que le rayon de courbure tend vers 0 ou vers un réel strictement positif, montrer que adans le premier cas la courbe tend vers un point et dans le second vers un cercle, puis choisir pour origine le point ou le centre du cercle et enfin montrer le résultat.

Voilà, ce sont quelques suggestions d'un type qui ne fait plus d'analyse depuis bien longtemps, d'autres personnes sauront sans doute mieux te renseigner que moi.

Edit : Puisque tu parles d'une courbe définie en coordonnées polaires, le contre exemple de la spirale qui converge en un point autre que l'origine ne fonctionne pas non plus, par contre, celui d'une spirale qui converge vers un cercle non centré à l'origine (une légère translation de la courbe \rho(\theta) ci-dessus de façon à ce que le rayon oscille à partir d'un certain rang) doit fonctionner et invalider ta conjecture "brute". Il faut donc forcément commencer par changer l'origine, ce qui n'est pas évident quand on travaille avec une courbe définie en polaire.

Sinon une autre idée que je peux te soumettre : essaye de montrer qu'en chaque point ta courbe traverse le cerle centré à l'origine dans le bon sens (de l'extérieur vers l'intérieur).