Propagation dans une corde vibrante

[salie]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un exercice sur les équations de d'Alembert.On a: une corde sans raideur de masse linéique mu, longueur L soumise à une tension T° entre x=O et x=L le poids de la corde est négligé.La fonction y(x,t) représentant les petits mouvement transversaux d'un point M de la corde d'abscisse x à la date t. On nous demande l'énergie cinétique linéique de la corde mais je ne vois pas par ou commencer pourriez vous me guider? merci d'avance

[Dominique Lefebvre]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un exercice sur les équations de d'Alembert.On a: une corde sans raideur de masse linéique mu, longueur L soumise à une tension T° entre x=O et x=L le poids de la corde est négligé.La fonction y(x,t) représentant les petits mouvement transversaux d'un point M de la corde d'abscisse x à la date t. On nous demande l'énergie cinétique linéique de la corde mais je ne vois pas par ou commencer pourriez vous me guider? merci d'avance

Bonsoir,
Quel niveau TS ou math sup?

[Dominique Lefebvre]

Je vais supposer que tu es en math sup.

Si j'appelle mu la masse linéique, je sais que l'élément de masse dm= mu*dx, de vitesse drond(y)/drond(t) possède l'énergie cinétique :
dEc = (1/2)*mu*dx(drond(y)/drond(t))² en appliquant bêtement le théorème de l'énergie cinétique.

[salie]

En effet je suis bien en math spé merci pour l'énergie cinétique je n'avais pas pensée à exprimer la vitesse de cette façon. Pourriez-vous m'aider pour la suite? je précise que c'est un exercice de cours et pas un dm. La deuxième question demande de montrer que le travail qu'il faut fournir à un élément de corde (de longueur dx au repos) pour le faire passer de l'état y=O à Y=y(x,t) s'écrit -T°/2 (drond(y)/drond(x))dx puis en déduire l'énergie potentielle linéique Ep de la corde.

je ne vois pas trop d'où vient le T° dans l'expression. je sais que l'énergie cinétique est égale à la somme des forces extérieures mais je n'obtient pas ce résultat. Pour l'énergie potentielle il faut se servir du fait que les forces sont conservatives?

[Dominique Lefebvre]

En effet je suis bien en math spé merci pour l'énergie cinétique je n'avais pas pensée à exprimer la vitesse de cette façon. Pourriez-vous m'aider pour la suite? je précise que c'est un exercice de cours et pas un dm. La deuxième question demande de montrer que le travail qu'il faut fournir à un élément de corde (de longueur dx au repos) pour le faire passer de l'état y=O à Y=y(x,t) s'écrit -T°/2 (drond(y)/drond(x))dx puis en déduire l'énergie potentielle linéique Ep de la corde.

je ne vois pas trop d'où vient le T° dans l'expression. je sais que l'énergie cinétique est égale à la somme des forces extérieures mais je n'obtient pas ce résultat. Pour l'énergie potentielle il faut se servir du fait que les forces sont conservatives?

Il faut que tu considères l'alongement de la corde deltaL. le travail nécessaire pour passe de y=0 à y(x,t), qui est de fait le travail de T, peut s'écrire W = T*deltaL. T est la tension bien sur...
Reste à évaluer deltaL: je te laisse réfléchir sur ce point.
Si l'on considère l'énergie potentielle de la corde nulle à y=0, tu pourras calculer l'énergie potentielle de la corde.

pour t'aider, Ep = T/2* Int[(drond(y)/drond(x))²], Int étant l'intégrale entre 0 et l, l = longueur au repos de la corde.

bien sur on suppose la corde inextensible....

[salie]

d'accord pour l'énergie potentielle mais j'avoue que pour le delta l je sèche complètement..

[salie]

salut! j'ai encore réfléchi à ce ce delta l et franchement je ne vois pas un petit coup de main me serais bien utile merci d'avance

[Dominique Lefebvre]

salut! j'ai encore réfléchi à ce ce delta l et franchement je ne vois pas un petit coup de main me serais bien utile merci d'avance

Bonsoir,
Ah oui le deltaL pour calculer le travail...

En fait deltaL est égal à (1/2)*Int[(drond(y)/drond(x)²dx] entre 0 et l, l étant la longueur au repos de la corde. Tu obtiens ce résultat en intégrant l'élement curviligne ds et en se rappelant que dy = drond(y)/drond(x).

Le travail Wp est donc égal à (T/2)*Int[(drond(y)/drond(x))²dx] entre 0 et l.

Comme d'habitude, le travail est égal à la variation de l'énergie potentielle de la corde (avec Ep=0 pour la corde au repos).
Et j'ai donc finalement Ep = (T/2)*Int[(drond(y)/drond(x))²dx]

[salie]

Bonsoir, je trouve ds=radical(dx²+(y(x+dx,t)-y(x,t))²)=dx*radical(1+dy) mais je n'arrive pas à trouvé delta l :mur:

[Dominique Lefebvre]

Bonsoir, je trouve ds=radical(dx²+(y(x+dx,t)-y(x,t))²)=dx*radical(1+dy) mais je n'arrive pas à trouvé delta l :mur:

Revenons à ton expression de ds. On a ds² = dx² + dy² soit ds² = 1+ (drond(y)/drond(x))² . Et donc ds = sqrt(1+ (drond(y)/drond(x))²)*dx.

Je sais que drond(y)/drond(x) << 1, j'obtient donc, en faisant un DL, l'intégrande suivant : (1+ (drond(y)/drond(x))²)*dx.

[salie]

merci de votre patience bonne soirée

[Dominique Lefebvre]

merci de votre patience bonne soirée

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