Problème stator (mécanique des fluides)

[Anonyme]

Salut à tous, et bonne année.

Alors, j'ai un problème de mécanique des fluides "simple" à soumettre à toute personne acceptant de m'aider. J'ai un fluide qui circule dans un tube cylindrique à vitesse uniforme et constante dans le temps. Jusque là pas de problème. Maintenant je rajoute un stator (hélice fixe) dans le tube, de sorte à entrainer le gaz en rotation autour de l'axe du cylindre.

Je veux simplement montrer que l'introduction du stator ne diminue pas la vitesse longitudinale du fluide, et donc qu'une particule entrant dans le tube restera aussi longtemps dans celui-ci avec ou sans stator.

En gros il s'agit d'expliquer le fait que le stator met la colonne de fluide en rotation, sans influencer sa vitesse de progression dans le tube. Mes connaissances en mécanique des fluides sont très basiques et je bloque complètement sur ce problème : j'essaye de l'aborder d'un point de vue cinétique mais ça n'aboutit pas (en supposant par exemple que la vitesse longitudinale varie et en cherchant une contradiction).

Ce ne devrait pas être compliqué pour quelqu'un qui s'y connait en stator.

Quelqu'un peut m'aider ? Si je n'ai pas été suffisamment clair dans mon énoncé n'hésitez pas à me demander des précisions.

Merci d'avance!

[Mathusalem]

en supposant par exemple que la vitesse longitudinale varie et en cherchant une contradiction

Bonne année à toi.
En pensant à du chewing-gum que tu étires, si tu avais une colonne fixe d'eau, et que quelque part dans cette colonne, le liquide se mettait à accélerer, qu'adviendrait-il de la densité de matière localement à cet endroit?
Ton problème et tes conclusions sont vérifiables si le fluide est in.....ssible

Que le fluide soit in....ssible implique ... = 0

La traduction "feeling" de cette ligne est de dire que puisque le fluide est in...ssible, le flux entrant dans le tube doit forcément égaler le flux sortant du tube (...=0). A partir de là tu devrais comprendre. Ensuite, évidemment, tu peux poser rigoureux rigoureux ce qu'est un flux, montrer qu'il ne varie pas à cause de l'in..ssibilité du fluide, et donc que la vitesse longitudinale ne varie pas.

Note tout de même que n'est pas constant. Le stator est une source qui investit de l'énergie dans le fluide. Néanmoins, cet ajout de vitesse est purement tangentiel, créant un "tourbillon" derrière le cylindre, qui se déplace à même vitesse qu'avant.

Qu'est-ce qu'il se passerait si le stator était dans le plan de mouvement du fluide ?

[Anonyme]

Ah oui en effet, si le fluide est incompressible Delta U = 0, pas de ralentissement local. En fait j'avais fait le raisonnement dans l'autre sens : supposant que la vitesse longitudinale du fluide variait, je trouvais une compression, mais ça ne m'avait pas choqué.

Finalement il suffit que je montre que le fluide est incompressible dans les conditions de mon expérience, mais comment faire ça ? J'imagine que ça dépend principalement de sa constitution chimique et de sa vitesse d'arrivée sur le stator. Il s'agit d'un gaz, principalement constitué d'oxydes d'azotes, et de débit faible (gaz d'échappement).

Merci pour cette réponse en tout cas qui me fait voir le problème sous un autre angle. Je ne comprends pas cependant ta dernière remarque : "Qu'est-ce qu'il se passerait si le stator était dans le plan de mouvement du fluide ?". Qu'est-ce que tu appelles le plan de mouvement du fluide ?

[Mathusalem]

Alors,

Ton gaz n'est pas incompressible. Rien (à peu près) ne l'est vraiment, mais surtout pas un gaz. L'argument de divergence est un moyen simple de concrètement remballer le problème et basta.

Ce qu'il se passe concrètement, c'est ceci :

Admettons qu'on est face à un système de particules.

La quantité de mouvement du syst est définie par

avec à priori où je definis x comme la direction longitudinale. (i désigne une particle, et on fait la somme sur toutes)

Tu peux montrer que = 0. En effet, la force extérieure apportée par le stator est dans le plan Oyz.
Ceci montre que la vitesse longitudinale est conservée.

Pour ma dernière remarque ,c'est pas important c'était juste pour l'histoire de la divergence.

Donc au final, pour ce problème, pas besoin de meca des fluides. Tu supposes à la base que tu possèdes un écoulement stationnaire laminaire.
Les seules forces qui agissent sur le système sont des forces perpendiculaires au déplacement. En ceci, la quantité de mouvement reste conservée dans la direction de mouvement, donc la vitesse globale du liquide reste inchangée.

[Anonyme]

D'accord pas bête du tout ! Il faudra quand même que je cherche une référence pour montrer qu'un stator idéalisé ne fournit des efforts que dans le plan de la section du fluide...

Quelque chose cependant m'intrigue. Le stator étant ce qu'il est, il ne fournit pas vraiment de l'énergie au système, si ? D'où vient l'énergie supplémentaire fournie aux particules qui leur permet d'augmenter leur vitesse en norme ?

Une autre question dans la lancée : comment prouver simplement qu'un stator introduit une meilleure rotation du fluide qu'une simple hélice en rotation libre ? Ça parait intuitif (si l'hélice est en rotation libre dans un sens, le gaz sera en rotation dans l'autre sens, et si on imagine qu'on fixe l'hélice, on imagine que le gaz va tourner 2 fois plus vite...). J'ai essayé de démontrer ça avec un changement de référentiel mais je n'aboutit pas vraiment.