Problème en radioactivité

[Senia]

Bonjour a tous, j'ai un problème pour un exo sur la radioactivité que je n'arrive vraimeent pas a comprendre a partir de la question 1.c)

L'uranium 238 est à l'origne d'une famille radioactive conduisant à l'isotope stable Pb (z=82; A=206). Les désintégrations successives s'accompagnent d'émission de particules alpha ou de particules béta-. La durée de vie des noyaux intermédiaires est suffisamment courte pour que l'on puisse négliger leur présence dans les produits de la transformation. On peut donc assimiler l'ensemble à une réaction unique:
U (Z= 92; A= 238) _> Pb( z= 82; A= 206) + x alpha + y béta-

1. déterminer les coefficients x et y dans l'équation données ce-dessus.

J'ai trouvé x = 8 et y = 6

2. On considère qu'à la date t=0 e sa transformation, le minéral d'où est extrait d'uranium 238 ne contient aucun atome de plomb. On appelle Nu(o) le nombre initial de noyaux d'uranium 238, Nu(t) le nombre de noyaux d'uranium 238 présents à l'instant t et NPb(t) le nombre de noyaux de plomb 206 présents a l'instant t.
a) Sachant que Nu(t) = Nu(0)e^(-lambda t), avec lambda constante de désintégration radioactive de l'uranium 238, exprimer le temps de demi-vie de cet isotope en fonction de lambda.

J'ai trouvé t1/2 = Ln2/lambda

b) Exprimer NPb(t) en fonction de t, lambda et Nu(t)

J'ai trouvé que NPb(t) = Nu(o) - Nu(t)
Donc, NPb(t) = Nu(t) (1/(e^(-lambda t) -1)

A partir de là par contre je suis complétement perdue.

c) En déduire l'âge t du minerai en fonction du temps de demi-vie del'uranium 238 et du rapport NPb(t) / Nu(t)
On pourra considérer que t << t1/2 et pour epsilon petit, on prend:
E ^(epsilon) envion = 1 + epsilon

(C'est quoi epsilon?)

d) A la date t, un échantillon du minerai contient 1 g d'uranium 238 et 10 mg de plomb 206. Calculer l'age du minerai.

Données: t1/2 de l'uranium = 405*10^9 années : M(u) = 238 g.mil^(-1) ; M(Pb) = 206 g .mol^(-1)

Merci d'avance.

[flaja]

Bonjour.

Donc, NPb(t) = Nu(t) (1/(e^(-lambda t) -1)

Il manque une parenthèse droite !
NPb(t) = Nu(o) - Nu(t) = NU(0) ( 1 - e^(-lambda t) )
puis tu remplaces NU(0) par NU(t) e^(+lambda t)
Ce qui te donnera une expression juste et plus simple.

c) En déduire l'âge t du minerai en fonction du temps de demi-vie del'uranium 238 et du rapport NPb(t) / Nu(t)
On pourra considérer que t << t1/2 et pour epsilon petit, on prend:
E ^(epsilon) envion = 1 + epsilon

(C'est quoi epsilon?)

en général on appelle epsilon un nombre petit (devant 1)
ici epsilon = lambda t
très peu d'atomes se sont désintégrés.

Mais je ne vois pas l'intérêt de cette simplification :
à partir de 2b) tu passes e^(+lambda t) d'un côté et le reste de l'autre
1) tu remplace e^(+lambda t) par 1 + lambda t ... (avec approximation)
2) tu prends le log (ln) des 2 membres ... (sans approximation)
peut-être n'as-tu pas encore vu le log ? [ ln ( e^x ) = x ]

[Senia]

je n'arrive pas a comprends comment tu obtiens NPb(t) = Nu(t) e^(lambda*t)
Après, effectivement je n'ai pas vu les Ln, mais si je ne me trompas, on obtient: t= (Ln(NPb(t)) - Ln(Nu(t)))/lambda a partir de la formule que tu as trouvé. On peut calculer Lambda avec la formule de demi-vie, maisNPb(t) et Nu(t) peuvent être calculés?

[flaja]

comment tu obtiens NPb(t) = Nu(t) e^(lambda*t)

Non, ce n'est pas ce que j'obtiens.

à partir de : Nu(t) = Nu(0)e^(-lambda t)
en multipliant par e^(+lambda t) de chaque côté de l'équation :
je trouve : Nu(0) = Nu(t) e^(+lambda*t)
puis je remplace Nu(0) dans la formule :
NPb(t) = Nu(0) - Nu(t)
ce qui me donne :
NPb(t) = NU(t) ( e^(+lambda t) - 1 )

... à toi

Remarque, avec les log :
NPb(t)/NU(t) + 1 = e^(+lambda t)
soit :
lambda t = ln( NPb(t)/NU(t) + 1 )