Pile de N vitres

[TS2502]

Bonjour à tous !

Alors j'ai un exo qui me pose problème même si j'ai l'impression qu'il ne devrait pas tant que ça...
Voici l'énoncé :
"On considère une pile de N vitres transparentes dont chacune a un indice de réfraction k fois plus grand que celle sur laquelle elle est posée (k>1).L'indice de la vitre supérieure est n.
Quel doit être l'angle minimal du rayon incident pour qu' il ne la traverse pas ? S'il la traverse avec quel angle ressort-il ? "

Voilà ! Je vous montre aussi ce que j'ai fait :
J'ai noté Ni l'indice de la N-ieme vitre (celle tout en bas). Ensuite j'ai dit que les N-2 vitres restantes avaient des indices dans le style suivant : k^(N-2).Ni pour la 2ème vitre (après celle supérieure). J'ai écrit mes lois de Snell-Descartes en partant du haut :
n(air) sin(a) = nsin(r) (ou r est le 1er rayon refracté)
nsin(r) = k^(N-2)Ni.sin(r')
k^(N-2)Ni.sin(r') = k^(N-1)Ni.sin(r'')
...
kNi.sin(r1)=Ni.sin(r0)
Ensuite, j' ai cherché à appliquer la condition de réflexion totale : la limite est si r0=pi/2 donc j'aurais l'angle limite alim.
J'obtiens avec ma série d'égalité :
n(air).sin(alim)=Ni.sin(pi/2)

Cela me semble un peu étrange et je ne vois pas comment faire pour s'il traverse...

Merci de votre aide !
Bonne journée à vous

[Sake]

Salut,

(Si pas d'erreur de calcul) :

Supposons que les vitres sont d'extension infinie dans les directions principales du dioptre.
La loi de Snell-Descartes appliquée à la vitre du haut donne :
n*sin(beta_1) = n_(air)*sin(alpha) où beta_1 est le premier angle réfracté, ou angle du rayon voyageant dans la première plaque de verre par rapport à la normale au dioptre. alpha est l'angle incident.
Donc sin(beta_1) = (n_(air)/n)*sin(alpha)
Un raisonnement similaire donne :
(n/k)*sin(beta_2) = n*sin(beta_1) donc sin(beta_2) = k*sin(beta_1) = k*(n_(air)/n)*sin(alpha)
Par récurrence, on montre que
sin(beta_i) = k^(i-1)*(n_(air)/n)*sin(alpha) pour tout i dans [[1,N]].
donc en écrivant l'égalité de S-D pour le dernier dioptre (interface vitre-air du bas) :
(n/k^N)*sin(beta_N) = n_(air)*sin(alpha_s) où alpha_s est l'angle sortant.
Donc sin(alpha_s) = sin(alpha)/k

Le rayon lumineux incident ne traverse pas la pile de verre ssi alpha_s = pi/2 mod pi, i.e. sin(alpha)/k = +/- 1, ce qui veut dire que alpha = +/- asin(k) car la fonction arcsinus est impaire.

Edit: Attends, il y a quelque chose qui cloche... k est censé être plus grand que 1 donc il y a blème.

[TS2502]

Merci de ta réponse qui m'est bien utile ! Je vois le raisonnement à avoir, je vais essayer de l'appliquer !

[Sake]

Oui oui fais attention, je tombe sur un résultat un peu improbable... Je regarde ça.

[Sake]

Mon erreur est d'avoir considéré que l'indice de réfraction dans la N-eme vitre est n/k^N alors qu'il s'agit de n/k^(N-1)
On tombe finalement sur sin(alpha) = sin(alpha_s) et le rayon ne traverse jamais la pile de verres pour des incidences rasantes.

[Black Jack]

Salut,

Peut être me trompe-je, mais ...

Si on considère la direction normale aux vitres, si le rayon pénètre dans la 1ere, il se rapprochera de la direction de la normale (en supposant, ce qui est "normal" le n de la 1ere vitre > 1) (l'angle de réfraction est < l'angle d'incidence)

L'angle de réfraction ci-dessus devient l'angle d'incidence pour la séparation suivante ... et comme les indices de réfraction sont de plus en plus grands, la direction du rayon se rapprochera de plus en plus de celui de la normale au vitres... et ceci jusque l'intersection finale entre le verre et l'air.

Ce qui permettra au rayon de traverser l'ensemble si il peut franchir la 1ere interface (entre l'air et la 1ere vitre), ce qu'il fera toujours (en supposant le n de la 1ere vitre > 1) sauf cas limite d'incidence à 90°.

1 * sin(i) = n1 * sin(i1) = n2 * sin(i2) = ... = n10.sin(i10) = 1 * sin(angle sortie)

---> angle de sortie à la dernière vitre = angle d'incidence du rayon sur la 1ere vitre.

Cas limite, si i = 90°, le rayon ne passe pas, mais il passe pour toute autre incidence et l'angle de sortie est le même que celui d'entrée.

Vérifie quand même.