Physique statistique

[Kikoo <3 Bieber]

Bonsoir,

Il nous est donné une étude statistique du mouvement microscopique des molécules dans un gaz. Chaque molécule a un vecteur vitesse , et selon l'hypothèse ergodique, le fluide étant en équilibre statique, il n'y a aucune raison que ses composantes aient un comportement préférentiel. Les composantes cartésiennes , et sont donc nulles.
Nous montrons ensuite que la densité volumique des particules dans un tel fluide est de et que la probabilité qu'une molécule ait une vitesse en x comprise entre et et de .
Maintenant il m'est demandé de calculer sa vitesse quadratique moyenne mais je ne vois pas comment faire. Comment déterminer la valeur de la composante en x de la vitesse ?

[Mathusalem]

Bonsoir,

Il nous est donné une étude statistique du mouvement microscopique des molécules dans un gaz. Chaque molécule a un vecteur vitesse , et selon l'hypothèse ergodique, le fluide étant en équilibre statique, il n'y a aucune raison que ses composantes aient un comportement préférentiel. Les composantes cartésiennes , et sont donc nulles.
Nous montrons ensuite que la densité volumique des particules dans un tel fluide est de et que la probabilité qu'une molécule ait une vitesse en x comprise entre et et de .
Maintenant il m'est demandé de calculer sa vitesse quadratique moyenne mais je ne vois pas comment faire. Comment déterminer la valeur de la composante en x de la vitesse ?

Je note P_x la densité de probabilité d'avoir une vitesse comprise entre v_x et v_x + dv_x.

Soit X une variable aléatoire continue prenant des valeurs de -infini a infini. Cette variable suit une Loi P. Alors, sa moyenne est définie comme



Ici, P_x est la loi que tu as sans le dv_x. La moyenne de quelle variable aléatoire veux-tu calculer ? Quel est le domaine de valeurs qu'elle peut prendre, quelle loi suit-elle ?

[Kikoo <3 Bieber]

Salut mathusalem !

Je souhaite calculer et donc il me semble nécessaire de calculer une valeur quadratique moyenne sur chaque composante pour ensuite sommer les contributions en x, y et z ().
Alors si je comprends bien ce que tu m'as dit, nous aurions notre variable aléatoire (ou bien ou ) qui prend la loi et des valeurs dans tout R.
Auquel cas sa valeur moyenne est .
Mais si je veux , comment je fais ?
Merci.

[Mathusalem]

Soit X une variable aléatoire continue de densité P.



(où E(X^n) est equivalent à )
Ici, il te suffit donc de calculer



La quantité quantifie le carré des écarts à la moyenne, donc si tu veux, ça quantifie à quel point ta moyenne est une bonne indication de la dynamique.

Ici, la moyenne est nulle (la densité est symétrique sur le domaine, mais v est asymétrique, donc l'intégrale est nulle). Tu vas chercher le deuxième moment, E(x^2) qui ici en l'occurence correspond aussi à la quantité ci-dessus (variance) puisque la moyenne E(x) est nulle. Cette quantité que tu vas calculer va te dire, qualitativement, à quelle distance (en vitesse) les particules se trouvent du repos (vitesse moyenne). C'est très important. Si cette quantité diverge, ton gaz est très agité, car bien que la vitesse moyenne soit nulle, on y trouve des vitesses en tout genre (qui en moyenne s'annulent). Par contre, si cette quantité est très proche de la moyenne (0) cela veut dire que ton gaz est 'calme', les vitesses typiques qu'on y trouve sont quasi nulles.

[Kikoo <3 Bieber]

Ah d'accord, c'était ça qui me manquait !
Par contre, sachant que cet exo provient d'un énoncé de concours, je doute que des élèves de prépa connaissent ce genre de techniques (espérance d'une variable aléatoire sous forme intégrale). Personnellement je n'ai jamais vu ça, et on ne fait pas assez de proba (même pas du tout il me semble) tout au long du cursus de deux ans...
Bref, je vais pouvoir continuer maintenant ! Merci encore :)

[Mathusalem]

Lorsque tu lances des dés, tu as une chance sur 6 que chaque face sorte.

La variable aléatoire discrète X qui à l'évènement 'c'est la face avec 1 qui tombe' associe 1, et ainsi de suite, suit une loi uniforme P : chaque évènement a la même probabilité 1/6 de sortir.

Si tu nommes S l'espace dénombrable des valeurs que peut prendre X ( 1 à 6 ici), alors l'espérance est définie comme



Chaque évènement traduit par la variable aléatoire intervient dans la somme pondéré par sa probabilité d'apparition. A la physicienne, ça te donne un peu le centre de masse de ta variable aléatoire.

Maintenant, quand tu étends ce principe au domaine continu, la densité P devient une fonction dont l'intégrale vaut 1 (il y a d'autres critères encore): ici typiquement, c'est ta gaussienne. L'espace S est maintenant associé à R entier (donc plus dénombrable). Analoguement aux sommes de Riemann, ton espérance sous forme de somme, dans le continu, devient une espérance sous forme d'intégrale, en échangeant la somme par l'intégrale.

Ça serait pas trop mal qu'un mathématicien passe derrière mettre un peu de rigueur là-dedans, mais tu devrais avoir l'idée générale.

[Kikoo <3 Bieber]

C'est sûr que si je ne sais pas ce qu'est une espérance, faut pas essayer de chercher ! ^^
D'accord, j'avais du mal à assimiler la valeur moyenne d'une série statistique à l'espérance en proba... Mais maintenant que je sais qu'il y a corrélation entre les deux, c'est bien plus facile de me représenter le sens de la formule.

[Mathusalem]

Sinon, un truc assez malin pour calculer certaines intégrales gaussiennes de moment supérieur :

[Kikoo <3 Bieber]

Sinon, un truc assez malin pour calculer certaines intégrales gaussiennes de moment supérieur :

Utile... Mais comment tu montres ça ?

[Mathusalem]

est clairement vrai.

La question est donc de savoir si



Donc, si on appelle la fonction gaussienne , et l'intégrale alors,



La question finale est donc de savoir si


C'est le cas si le critère de convergence dominée de Lebesgue est vérifié. C'est-à-dire, si la limite à l'intérieur de l'intégrale existe pour presque tout x, et il existe une fonction H(x) > 0, telle que son intégrale est bornée sur le domaine, et telle que , alors tu peux permuter limite et intégrale.

Dans ce cas précis, ça me semble pas trop dur à montrer.

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,

Comment puis-je calculer l'entropie d'un système à trois particules discernables prenant des niveaux d'énergie distincts (, , , ) ?
Je pense à utiliser avec ici car nous avons un système de trois particules (et j'avais défini différents choix possibles pour que la somme des états d'énergie vale l'état d'énergie imposé au système qui est de ).
Je trouve ainsi que donc trois configurations possibles (sinon plus ?).
Auquel cas j'obtiens ou bien ou bien . Sachant que l'énoncé me demande de répertorier les différents états accessibles du système et de calculer son entropie, je ne sais pas si ce que j'ai fait est juste (ici j'ai pris l'état imposé au système et j'ai trouvé les combinaisons possibles, or il me semble plutôt qu'il faille trouver toutes les combinaisons possibles de 3 parmi 4, faire la somme et trouver les différentes énergies qu'il est possible de trouver)...
Merci pour votre aide.

[Kikoo <3 Bieber]

Je me permets de remonter ce sujet !:stupid_in

[Mathusalem]

Salut.

J'ai pas réfléchi énorme, mais vu comment l'exercice est posé, il te suffit de compter le nombre de configurations possibles qui ont une énergie 9e/2.

Ton approche est alors correcte.

S(E=9e/2) = k_B ln(10)

Ton autre approche qui consiste à compter 3 parmi 4 n'est pas bonne. Tu supposes que les particules peuvent être dans le même état d'énergie, alors que C(3,4) te compte le nombre de possibilités que tu as de mettre chaque particule dans un état différent d'énergie.

Il y a des manières assez simples de compter le nombre d'états total que peut prendre ton système (je te laisse chercher une manière de les dénombrer). Ensuite, tu peux essayer de construire une fonction qui associe le nombre d'état à une énergie donnée (pas forcément simple)

Si c'est fait, tu auras . Au final, tu devras retomber sur le fait que

[Kikoo <3 Bieber]

Salut.

J'ai pas réfléchi énorme, mais vu comment l'exercice est posé, il te suffit de compter le nombre de configurations possibles qui ont une énergie 9e/2.

Ton approche est alors correcte.

S(E=9e/2) = k_B ln(10)

Ton autre approche qui consiste à compter 3 parmi 4 n'est pas bonne. Tu supposes que les particules peuvent être dans le même état d'énergie, alors que C(3,4) te compte le nombre de possibilités que tu as de mettre chaque particule dans un état différent d'énergie.

Il y a des manières assez simples de compter le nombre d'états total que peut prendre ton système (je te laisse chercher une manière de les dénombrer). Ensuite, tu peux essayer de construire une fonction qui associe le nombre d'état à une énergie donnée (pas forcément simple)

Si c'est fait, tu auras . Au final, tu devras retomber sur le fait que

Ah salut mathusalem ! Merci pour ce message, je me demande comment je n'ai pas pu tomber dessus depuis ce matin.
Je ne comprends pas comment tu tombes sur Omega=10 vu que nous avons 3 particules donc au numérateur 3!=6, et nous avons au maximum trois particules dans le même état énergétique, donc on retrouve inévitablement du 2! au dénominateur ou du 1! (si chaque particule prend un état distinct), voire du 3! si les trois particules sont au même état, non ?

PS : Ah mais j'avais oublié de préciser que chaque état a équiprobabilité d'être choisi par une particule.

[Mathusalem]

Il se peut que mon raisonnement soit erronné, mais là à l'instinct + souvenir, tu dois compter le nombre de configurations possibles.

La première chose que tu fais, c'est regarder les configurations énergétiques possibles. Pour arriver à 9e/2, il y a 3 configurations possibles.

1. 1 + 3 + 5 [e/2]
Ici, on peut placer les molécules de 6 manières différentes puisqu'elles sont discernables.

2. 1 + 1 + 7 [e/2]
Ici, on peut placer les molécules de 6 manières différentes, mais il faut diviser par 2 les cas, car on ne peut pas distinguer la première ayant e/2 de la deuxième ayant e/2 ou le contraire. Donc ça en fait 3

3. 3 + 3 + 3 [e/2]
Ici, y a qu'une seule configuration. Y en a 6 comme avant, mais tu peux pas distinguer les énergies, donc une configuration n'est pas différente d'une autre, puisque chaque particule a toujours la même énergie.

Ce qui mène à 6+3+1 = 10 microétats distincts pour arriver à E = 9e/2.

[Kikoo <3 Bieber]

Il se peut que mon raisonnement soit erronné, mais là à l'instinct + souvenir, tu dois compter le nombre de configurations possibles.

La première chose que tu fais, c'est regarder les configurations énergétiques possibles. Pour arriver à 9e/2, il y a 3 configurations possibles.

1. 1 + 3 + 5 [e/2]
Ici, on peut placer les molécules de 6 manières différentes puisqu'elles sont discernables.

2. 1 + 1 + 7 [e/2]
Ici, on peut placer les molécules de 6 manières différentes, mais il faut diviser par 2 les cas, car on ne peut pas distinguer la première ayant e/2 de la deuxième ayant e/2 ou le contraire. Donc ça en fait 3

3. 3 + 3 + 3 [e/2]
Ici, y a qu'une seule configuration. Y en a 6 comme avant, mais tu peux pas distinguer les énergies, donc une configuration n'est pas différente d'une autre, puisque chaque particule a toujours la même énergie.

Ce qui mène à 6+3+1 = 10 microétats distincts pour arriver à E = 9e/2.

Aaaah, je n'avais pas pensé à raisonner ainsi ! Merci encore