Quelques points :
Lorsque tu intègres, à droite, la variable est la vitesse. Ce que tu écris, c'est l'intégrale définie entre le point ou la vitesse vaut 0, et celui ou la vitesse vaut z. Ca n'a pas le sens que tu pensais lui donner
Ensuite, pour la constante d'intégration, ça vient du fait que tu ne fixes pas les bornes. C'est ta condition initiale qui va t'aider. Si tu as les bornes d'intégration fixes, tu n'as pas de constantes d'intégration et tu évalues ta primitive aux bornes.
Donc tu peux écrire formellement :
Puis tu comprimes cela en une seule constante d'intégration
Je t'invite à remarquer que la dérivée interne comporte un signe négatif, d'où le signe moins devant le logarithme.
Ensuite tu inverses ta formule, qui maintenant a un signe moins sur l'exponentielle, et ta condition initiale fixera une dimension devant l'exponentielle, en sachant que exp[ln[x]] = x. Puisque implicitement tu prends ton axe z vertical avec 0 fixé à la position initiale de la masse, la direction positive eetant vers le bas, tu trouveras effectivement que v(0) = 0 ( tu le fixes ) mais aussi que v(infini) = \sqrt{mg}{k} car z croît avec le temps, et tu as déjà trouvé v(t-> infini)
