J'aurais fait ceci :
En appelant x l'abscisse de la charge mobile (à partir de la position de repos) et axe Ox dirigé vers la droite :
La force appliquée par la charge de gauche sur la charge mobile est F = 9.10^9.Q²/(ro1 + x)² (force dirigée vers la gauche) (remarque 1/(4.Pi.Eo) = 9.10^9 (Si))
La force appliquée par la charge de droite sur la charge mobile est F = 9.10^9.Q²/(ro2 - x)² (force dirigée vers la gauche)
La force du ressort sur la masse mobile est : F = k.(ro2 - x - Lo) (force dirigée vers la droite)
On a donc : - 9.10^9.Q²/(ro1 + x)² - 9.10^9.Q²/(ro2 - x)² + k.(ro2 - x - Lo) = m.d²x/dt² (1)
avec -9.10^9.Q²/(ro1)² - 9.10^9.Q²/(ro2)² + k.(ro2 - Lo) = 0 (repos)
Donc Lo = ro2 - k(9.10^9.Q²/(ro1)² - 9.10^9.Q²/(ro2)²)
L'équation (1) devient alors : 9.10^9.Q²/(ro1 + x)² - 9.10^9.Q²/(ro1 - x)² + k.(ro2 - x - (ro2 - (9.10^9.Q²/(ro1)² - 9.10^9.Q²/(ro2)²))) = m.d²x/dt²
-9.10^9.Q²/(ro1 + x)² - 9.10^9.Q²/(ro1 - x)² + (- kx - (- (9.10^9.Q²/(ro1)² - 9.10^9.Q²/(ro2)²))) = m.d²x/dt²
-9.10^9.Q²*(1/(ro1 + x)² + 1/(ro2 - x)² - 1/ro1² - 1/ro2²) - kx = m.d²x/dt²
d²x/dt² + (k/m).x + (9.10^9.Q²/k) * (1/(ro1 + x)² + 1/(ro2 - x)² - 1/ro1² - 1/ro2²) = 0
Il faudrait résoudre cette équation différentielle pour déterminer la pulsation du mouvement ... mais je ne sais pas comment faire.
C'est facile de le faire avec un tableur et des valeurs numériques, mais autrement ... ?
Avec x(0) = 0,1 m, r01 = 0,4 m ; ro2 = 0,6 m ; Q = 1,1094.10^-6 C, m = 0,00025 kg, k = 1N/m
Avec un tableur, on a ceci :
Sans garantie absolue.