Trois corps en forme de points , électrifiés avec la même charge
Cordialement ,
Dacu
Oscillations
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Oscillations
par Dacu » 15 Fév 2018, 16:37
Bonsoir à tous,
Trois corps en forme de points , électrifiés avec la même charge
, ayant les signes indiqués sur le dessin de la figure 1 , reposent sur un support isolant horizontal. Le corps central , ayant la masse 
, est relié à l'une des extrémités d'un ressort isolant, très léger, avec l'élasticité 
, et les corps latéraux sont fixes.Déterminer la période des oscillations mineures faites par le corps central le long de la direction des centres si le ressort reste linéaire et les frottements sont négligés. Il est donné, et pour l'état d'équilibre du système sont connus 
et 
.
Cordialement ,
Dacu
Trois corps en forme de points , électrifiés avec la même charge
Cordialement ,
Dacu
Et DIEU dit :<<La lumière soit !>> Et la lumière fut.
Re: Oscillations
par pascal16 » 15 Fév 2018, 21:02
je vois au moins 3 forces :
_la charge 'libre' est attiré par celle de charge opposé
_la charge 'libre' est repoussé par celle de même charge
_ le ressort
peut être commencer par la position d'équilibre pour simplifier les ED ou leur résolution
_la charge 'libre' est attiré par celle de charge opposé
_la charge 'libre' est repoussé par celle de même charge
_ le ressort
peut être commencer par la position d'équilibre pour simplifier les ED ou leur résolution
Re: Oscillations
par Black Jack » 22 Fév 2018, 17:31
Salut,
Sauf erreur, l'équation différentielle de l'élongation est :
^2} + \frac{1}{(r_{02}-x)^2} - \frac{1}{(r_{01})^2} - \frac{1}{(r_{02})^2}) = 0)
A vérifier ...
Sauf erreur, l'équation différentielle de l'élongation est :
A vérifier ...
Modifié en dernier par Black Jack le 23 Fév 2018, 19:51, modifié 2 fois.
Re: Oscillations
par Dacu » 23 Fév 2018, 15:22
Bonjour à tous,
Mon raisonnement:
Si nous négligeons la friction , alors l'équation d'équilibre est
où 
, 
, 
et 
avec 
.
--------------------------
Est-ce que mon raisonnement est correct?
Cordialement,
Dacu
Mon raisonnement:
Si nous négligeons la friction , alors l'équation d'équilibre est
--------------------------
Est-ce que mon raisonnement est correct?
Cordialement,
Dacu
Et DIEU dit :<<La lumière soit !>> Et la lumière fut.
Re: Oscillations
par Black Jack » 23 Fév 2018, 20:09
J'aurais fait ceci :
En appelant x l'abscisse de la charge mobile (à partir de la position de repos) et axe Ox dirigé vers la droite :
La force appliquée par la charge de gauche sur la charge mobile est F = 9.10^9.Q²/(ro1 + x)² (force dirigée vers la gauche) (remarque 1/(4.Pi.Eo) = 9.10^9 (Si))
La force appliquée par la charge de droite sur la charge mobile est F = 9.10^9.Q²/(ro2 - x)² (force dirigée vers la gauche)
La force du ressort sur la masse mobile est : F = k.(ro2 - x - Lo) (force dirigée vers la droite)
On a donc : - 9.10^9.Q²/(ro1 + x)² - 9.10^9.Q²/(ro2 - x)² + k.(ro2 - x - Lo) = m.d²x/dt² (1)
avec -9.10^9.Q²/(ro1)² - 9.10^9.Q²/(ro2)² + k.(ro2 - Lo) = 0 (repos)
Donc Lo = ro2 - k(9.10^9.Q²/(ro1)² - 9.10^9.Q²/(ro2)²)
L'équation (1) devient alors : 9.10^9.Q²/(ro1 + x)² - 9.10^9.Q²/(ro1 - x)² + k.(ro2 - x - (ro2 - (9.10^9.Q²/(ro1)² - 9.10^9.Q²/(ro2)²))) = m.d²x/dt²
-9.10^9.Q²/(ro1 + x)² - 9.10^9.Q²/(ro1 - x)² + (- kx - (- (9.10^9.Q²/(ro1)² - 9.10^9.Q²/(ro2)²))) = m.d²x/dt²
-9.10^9.Q²*(1/(ro1 + x)² + 1/(ro2 - x)² - 1/ro1² - 1/ro2²) - kx = m.d²x/dt²
d²x/dt² + (k/m).x + (9.10^9.Q²/k) * (1/(ro1 + x)² + 1/(ro2 - x)² - 1/ro1² - 1/ro2²) = 0
Il faudrait résoudre cette équation différentielle pour déterminer la pulsation du mouvement ... mais je ne sais pas comment faire.
C'est facile de le faire avec un tableur et des valeurs numériques, mais autrement ... ?
Avec x(0) = 0,1 m, r01 = 0,4 m ; ro2 = 0,6 m ; Q = 1,1094.10^-6 C, m = 0,00025 kg, k = 1N/m
Avec un tableur, on a ceci :
Sans garantie absolue.
En appelant x l'abscisse de la charge mobile (à partir de la position de repos) et axe Ox dirigé vers la droite :
La force appliquée par la charge de gauche sur la charge mobile est F = 9.10^9.Q²/(ro1 + x)² (force dirigée vers la gauche) (remarque 1/(4.Pi.Eo) = 9.10^9 (Si))
La force appliquée par la charge de droite sur la charge mobile est F = 9.10^9.Q²/(ro2 - x)² (force dirigée vers la gauche)
La force du ressort sur la masse mobile est : F = k.(ro2 - x - Lo) (force dirigée vers la droite)
On a donc : - 9.10^9.Q²/(ro1 + x)² - 9.10^9.Q²/(ro2 - x)² + k.(ro2 - x - Lo) = m.d²x/dt² (1)
avec -9.10^9.Q²/(ro1)² - 9.10^9.Q²/(ro2)² + k.(ro2 - Lo) = 0 (repos)
Donc Lo = ro2 - k(9.10^9.Q²/(ro1)² - 9.10^9.Q²/(ro2)²)
L'équation (1) devient alors : 9.10^9.Q²/(ro1 + x)² - 9.10^9.Q²/(ro1 - x)² + k.(ro2 - x - (ro2 - (9.10^9.Q²/(ro1)² - 9.10^9.Q²/(ro2)²))) = m.d²x/dt²
-9.10^9.Q²/(ro1 + x)² - 9.10^9.Q²/(ro1 - x)² + (- kx - (- (9.10^9.Q²/(ro1)² - 9.10^9.Q²/(ro2)²))) = m.d²x/dt²
-9.10^9.Q²*(1/(ro1 + x)² + 1/(ro2 - x)² - 1/ro1² - 1/ro2²) - kx = m.d²x/dt²
d²x/dt² + (k/m).x + (9.10^9.Q²/k) * (1/(ro1 + x)² + 1/(ro2 - x)² - 1/ro1² - 1/ro2²) = 0
Il faudrait résoudre cette équation différentielle pour déterminer la pulsation du mouvement ... mais je ne sais pas comment faire.
C'est facile de le faire avec un tableur et des valeurs numériques, mais autrement ... ?
Avec x(0) = 0,1 m, r01 = 0,4 m ; ro2 = 0,6 m ; Q = 1,1094.10^-6 C, m = 0,00025 kg, k = 1N/m
Avec un tableur, on a ceci :
Sans garantie absolue.
Re: Oscillations
par Skullkid » 23 Fév 2018, 22:29
Bonsoir, si on se limite aux petites oscillations comme ça a l'air d'être le cas, on peut linéariser l'équation en \right] x = -k^\prime x)
, d'où la pulsation 
.
Sans l'hypothèse des petites oscillations, a priori il va se passer la même chose qu'avec le pendule simple : la période va dépendre de l'amplitude et les oscillations seront d'autant plus anharmoniques que l'amplitude est grande. Il y a peut-être une fonction spéciale qui permet d'écrire la réponse simplement, mais sinon on peut normalement obtenir des approximations à tout ordre en tronquant le DSE du membre de droite. Sauf erreur, le terme d'ordre n estq^2}{4\pi\varepsilon_0}(-1)^{n+1}\left( r_{01}^{-n-2} - r_{02}^{-n-2} \right) x^n)
.
Edit : correction d'une erreur de signe
Sans l'hypothèse des petites oscillations, a priori il va se passer la même chose qu'avec le pendule simple : la période va dépendre de l'amplitude et les oscillations seront d'autant plus anharmoniques que l'amplitude est grande. Il y a peut-être une fonction spéciale qui permet d'écrire la réponse simplement, mais sinon on peut normalement obtenir des approximations à tout ordre en tronquant le DSE du membre de droite. Sauf erreur, le terme d'ordre n est
Edit : correction d'une erreur de signe
Modifié en dernier par Skullkid le 25 Fév 2018, 16:08, modifié 1 fois.
Re: Oscillations
par Dacu » 24 Fév 2018, 07:18
Bonjour à tous,
Quelle valeur a T?Selon mon raisonnement ,}})
.
Cordialement,
Dacu
Quelle valeur a T?Selon mon raisonnement ,
Cordialement,
Dacu
Et DIEU dit :<<La lumière soit !>> Et la lumière fut.
Re: Oscillations
par Black Jack » 24 Fév 2018, 11:07
Salut :
Dans mon message précécent, il fallait lire :
d²x/dt² + (k/m).x + (9.10^9.Q²/m) * (1/(ro1 + x)² + 1/(ro2 - x)² - 1/ro1² - 1/ro2²) = 0
(Remarque, mon dessin était bien conforme à cela)
Avec de petites oscillations, l'équation :
d²x/dt² + (k/m).x + (9.10^9.Q²/m) * (1/(ro1 + x)² + 1/(ro2 - x)² - 1/ro1² - 1/ro2²) = 0
devient :
d²x/dt² + (k/m).x + (9.10^9.Q²/m) * (-2x/(ro1)³ + 2x/(ro2)³) = 0
d²x/dt² + x.(k/m + (9.10^9.Q²/m) * (2/(ro2)³ - 2/(ro1)³) = 0
On a w² = (k/m) + (9.10^9.Q²/m) * (2/(ro2)³ - 2/(ro1)³)
4Pi²/T² = (k/m) + (9.10^9.Q²/m) * (2/(ro2)³ - 2/(ro1)³)
}})
... ce qui est équivalent à la dernière solution de Dacu.
Dans mon message précécent, il fallait lire :
d²x/dt² + (k/m).x + (9.10^9.Q²/m) * (1/(ro1 + x)² + 1/(ro2 - x)² - 1/ro1² - 1/ro2²) = 0
(Remarque, mon dessin était bien conforme à cela)
Avec de petites oscillations, l'équation :
d²x/dt² + (k/m).x + (9.10^9.Q²/m) * (1/(ro1 + x)² + 1/(ro2 - x)² - 1/ro1² - 1/ro2²) = 0
devient :
d²x/dt² + (k/m).x + (9.10^9.Q²/m) * (-2x/(ro1)³ + 2x/(ro2)³) = 0
d²x/dt² + x.(k/m + (9.10^9.Q²/m) * (2/(ro2)³ - 2/(ro1)³) = 0
On a w² = (k/m) + (9.10^9.Q²/m) * (2/(ro2)³ - 2/(ro1)³)
4Pi²/T² = (k/m) + (9.10^9.Q²/m) * (2/(ro2)³ - 2/(ro1)³)
... ce qui est équivalent à la dernière solution de Dacu.
Re: Oscillations
par Dacu » 26 Fév 2018, 06:35
Black Jack a écrit:
... ce qui est équivalent à la dernière solution de Dacu.
Bonjour,
Ma solution n'est pas équivalente à votre solution!
Vous ne pensez pas que ça devrait être
Cordialement,
Dacu
Et DIEU dit :<<La lumière soit !>> Et la lumière fut.
Re: Oscillations
par Black Jack » 26 Fév 2018, 10:15
Dacu a écrit:Black Jack a écrit:
... ce qui est équivalent à la dernière solution de Dacu.
Bonjour,
Ma solution n'est pas équivalente à votre solution!
Vous ne pensez pas que ça devrait êtreet non
?
Cordialement,
Dacu
Salut,
Non pas du tout.
On a 1/(4Pi.€o) = 9.10^9
Et donc 9.10^9 * (2/ro2^3 - 2/ro1^3) = (9.10^9*2) * (1/ro2^3 - 1/ro1^3) = 2/(4Pi.€o) * (1/ro2^3 - 1/ro1^3)
= 1/(2Pi.€o) * (1/ro2^3 - 1/ro1^3)
Donc nos réponses sont bien équivalentes.
Re: Oscillations
par Dacu » 27 Fév 2018, 06:44
Black Jack a écrit:Salut,
Non pas du tout.
On a 1/(4Pi.€o) = 9.10^9
Et donc 9.10^9 * (2/ro2^3 - 2/ro1^3) = (9.10^9*2) * (1/ro2^3 - 1/ro1^3) = 2/(4Pi.€o) * (1/ro2^3 - 1/ro1^3)
= 1/(2Pi.€o) * (1/ro2^3 - 1/ro1^3)
Donc nos réponses sont bien équivalentes.
Bonjour,
Des milliers d'excuses!
Je ne faisais pas attention à ce que 2 existe déjà entre parenthèses....Cordialement,
Dacu
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