Oscillations et potentiel 12-6

[anima]

Bonjour,

Il y a une question tres, tres tordue sur ma feuille de problemes cette semaine (question bonus, donnée par le prof pour moi). Cette question était en 4 parties, il me reste la derniere question a faire, et c'est la ou je bloque.

Toutes les questions concernent un couple d'atomes dans une molécule diatomique. J'ai établi que , puis que . Par contre, la ou je bloque consiste a prouver que le mouvement est harmonique simple - qu'il peut s'exprimer sous la forme . J'ai essayé la preuve par l'absurde (qui a lamentablement raté parce que j'ai 2 inconnues en l'utilisant), et je penche sur un des indices glanés au passage: "A power series expansion centered in rho might be a good idea".

Quelqu'un a-t-il une idée de comment procéder? (Si non, je sors l'artillerie lourde et je prouve ca avec 5 pages de calculs en utilisant les séries de Fourier.)

[Dominique Lefebvre]

Bonjour,

Il y a une question tres, tres tordue sur ma feuille de problemes cette semaine (question bonus, donnée par le prof pour moi). Cette question était en 4 parties, il me reste la derniere question a faire, et c'est la ou je bloque.

Toutes les questions concernent un couple d'atomes dans une molécule diatomique. J'ai établi que , puis que . Par contre, la ou je bloque consiste a prouver que le mouvement est harmonique simple - qu'il peut s'exprimer sous la forme . J'ai essayé la preuve par l'absurde (qui a lamentablement raté parce que j'ai 2 inconnues en l'utilisant), et je penche sur un des indices glanés au passage: "A power series expansion centered in rho might be a good idea".

Quelqu'un a-t-il une idée de comment procéder? (Si non, je sors l'artillerie lourde et je prouve ca avec 5 pages de calculs en utilisant les séries de Fourier.)

Salut,
Ainsi donc, tu découvres le potentiel de Lennard-Jones... Voici une page qui peut t'intéresser : [url="http://www.compsoc.man.ac.uk/~lucky/Democritus/Theory/lenjon.html"]http://www.compsoc.man.ac.uk/~lucky/Democritus/Theory/lenjon.html[/url]
L'expression de la force que tu donnes me semble curieuse...

En fait, le potentiel de Lennard-Jones ne peut être qu'approché par un oscillateur harmonique! Vois ce document à la fin du §2.1.1 [url="http://iusti.polytech.univ-mrs.fr/~gep/permanents/nicolas/publiperso/OndesPolytechA1.pdf"]http://iusti.polytech.univ-mrs.fr/~gep/permanents/nicolas/publiperso/OndesPolytechA1.pdf[/url]

[Dominique Lefebvre]

Un peu de précision pour t'aider....

Tu peux approximer le potentiel de Lennard-Jones par un oscillateur harmonique dans la partie du mimimum de la courbe (l'as-tu tracé? Si non, je peux te passer un prog qui le fait...).
Ce minimum correspond à un potentiel V0 atteint à la distance r0. On peut approximer la courbe à cet endroit par une parabole de la forme V(r) = (1/2)k(r- r0)^2 avec r dans le voisinage de r0.
Or cette forme de potentiel est celle d'un oscillateur harmonique isotrope, de fréquence nu = (1/2pi)(k/m)^(1/2) où m est la masse réduite de ta molécule. Le k est mesuré.
Mais il s'agit bien d'une approximation locale, autour du minimum!

On montre (je te passerai la démo si tu veux) que la pulsation des vibrations d'une molécule diatomique, avec l'approximation linéarisée, est égale à:
oméga = (6/r0)(2V0/m)^1/2, à comparer avec le résultat local obtenu ci-dessus.

[anima]

Un peu de précision pour t'aider....

Tu peux approximer le potentiel de Lennard-Jones par un oscillateur harmonique dans la partie du mimimum de la courbe (l'as-tu tracé? Si non, je peux te passer un prog qui le fait...).
Ce minimum correspond à un potentiel V0 atteint à la distance r0. On peut approximer la courbe à cet endroit par une parabole de la forme V(r) = (1/2)k(r- r0)^2 avec r dans le voisinage de r0.
Or cette forme de potentiel est celle d'un oscillateur harmonique isotrope, de fréquence nu = (1/2pi)(k/m)^(1/2) où m est la masse réduite de ta molécule. Le k est mesuré.
Mais il s'agit bien d'une approximation locale, autour du minimum!

On montre (je te passerai la démo si tu veux) que la pulsation des vibrations d'une molécule diatomique, avec l'approximation linéarisée, est égale à:
oméga = (6/r0)(2V0/m)^1/2, à comparer avec le résultat local obtenu ci-dessus.

C'est résolu. Il y avait un petit piege dans la question, au passage. Et mon erreur sur la force... j'ai dérivé par rapport a rho au lieu de r :marteau: