Oscillateur mécanique excité

[francois750]

Bonsoir,

Je suis en train d'étudier les oscillateurs mécanique et je bloque sur mon premier exercice. La première question consiste à montrer que l'équation différentielle est bien celle indiquée. Voici l'énoncé :
http://i.imgur.com/ngu0j1r.gif


Concernant la première question, je suppose qu'il faut se placer en régime sinusoïdal forcé et appliquer le PFD. Cependant il y a un frottement fluide et l'oscillateur est vertical, comment commencer dans le cas d'un oscillateur mecanique excité et non harmonique ?

Si vous pouviez m'indiquer la démarche pour débuter, je vous remercie.

[Sake]

Bonjour François,

Avant toute chose, il faut prendre le temps de bien faire les choses :

Dans quel référentiel travailles-tu ?

Quel est le système étudié ?

Si possible, détermine le centre de masse du système, où s'appliqueront certaines forces extérieures au système (forces volumiques, en général).

Ecris les paramètres de configuration du système : Donne une base de coordonnées liée au point (ou au solide) pour pouvoir le décrire spatialement.

Effectue un bilan des forces qui s'exercent sur le système. Si l'on travaille dans le cadre d'un solide non déformable, pas besoin de comptabiliser les forces intérieures qui ne travailleront pas.

Utilise les théorèmes généraux : PFD pour décrire le mouvement global du système, TMC si certaines forces engendrent un couple ou un mouvement de rotation autour d'un certain axe (parfois, il peut être nécessaire d'écrire le TMC en un point où le moment cinétique est nul pour se débarrasser de certains paramètres), théorèmes énergétiques s'il y a en général un degré de liberté...

Définis une base de travail et de projection pour les équations issues des théorèmes généraux.


Ici :

Dans quel référentiel travaille-t-on ?

Quel est le système ?

Bilan des forces ?

Quel théorème utiliser ?
Quelle base prendre pour projeter le mouvement ? (simple, on est en unidimensionnel...)

[Sake]

Indice : Ecris la relation à l'équilibre et celle en mouvement.

[francois750]

Indice : Ecris la relation à l'équilibre et celle en mouvement.

Merci pour votre réponse, voici ce que j'ai trouvé:
On se place dans le référentiel terrestre
la masse n'est sur aucun support
normalement, vu que c'est vertical, la masse est soumise à son poids+ force ressort + frottement mais dans notre cas on travaille avec delta qui est une oscillation autour de la postion d'équiliblre.
zm=z0+delta. z0 est defini comme la position d'équilibre, P ne bouge pas. 0=k(zp-z0-l0)-mg
Donc m*delta''=k(zp+a(t)-z0-delta-l0)-mg-beta*delta'*beta*delta'
il reste m*delta''=k(a(t)-delta(t))-beta*delta'

[Cliffe]

Si je simplifie/modifie le schéma :

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On applique le PDF sur :

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Je suppose qu'on néglige le poids, donc on a :

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[Sake]

Si je simplifie/modifie le schéma :

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On applique le PDF sur :

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Je suppose qu'on néglige le poids, donc on a :

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En réalité, on ne néglige pas le poids, mais il n'intervient pas dans l'équation du mouvement. Et ça, c'est parce qu'on écrit le PFD à l'équilibre et le PFD en mouvement (auquel on va retrancher le PFD à l'équilibre).

[francois750]

Concernant la deuxième question (cf énoncé notations complexes), je dois calculer B/a et le mettre sous une forme particulière. Un point se met sous la forme Re(qqchose exp(jwt))) mais comment déduire de a(t) lequel est a et lequel est B ?
MErci

[Sake]

Merci pour votre réponse, voici ce que j'ai trouvé:
On se place dans le référentiel terrestre
la masse n'est sur aucun support
normalement, vu que c'est vertical, la masse est soumise à son poids+ force ressort + frottement mais dans notre cas on travaille avec delta qui est une oscillation autour de la postion d'équiliblre.
zm=z0+delta. z0 est defini comme la position d'équilibre, P ne bouge pas. 0=k(zp-z0-l0)-mg
Donc m*delta''=k(zp+a(t)-z0-delta-l0)-mg-beta*delta'*beta*delta'
il reste m*delta''=k(a(t)-delta(t))-beta*delta'

Attention. A l'équilibre, le ressort est tendu à z0. L'élongation vaut donc juste k(l0-z0).

Sinon je suis d'accord sur la démarche (modulo quelques erreurs de ta part).

En mouvement, l'élongation est de (zp-zm)-(-lo)=l0+zp-zm=l0+zp-(z0+delta)=...

A l'équilibre, on a donc (en projection sur l'axe (Oz) !!!!) :

0=k(l0-z0) - mg

En mouvement :

m*z''+=k(l0+zp-z0-delta)-mg-beta*delta'

Remarquons que z''=(z0+delta)''=delta'' en linéarisant autour de la position d'équilibre.

Alors en retranchant l'équation "à l'équilibre" à cette équation "en mouvement" :

m*delta''=k(zp-delta)-beta*delta'

Et en écrivant zp(t)=a(t), on a :

m*delta'' + k*delta + beta*delta' = k*a

[Sake]

Pour la deuxième question, qui est posée un peu bizarrement, on veut te faire résoudre l'équation en passant dans les complexes (étude fréquentielle).

On étend donc la définition de a à un forçage complexe (d'amplitude et de fréquence angulaire ) et celle de à une vitesse complexe qu'on va appeler - disons - .

Réinjecte cette vitesse complexe dans l'équation qu'elle vérifie, dérive (et intègre, en l'occurrence) dans l'espace des complexes et inverse la relation.