Optique: Mesure distance focale lentille convergente par méthode Bessel

[Emel-ii-nee]

. .

[Benjamin]

Bonsoir,

Bonjour à tous!
Je bloque un peu avec un exercice, et j'aurais besoin de votre aide et de petit conseil pour résoudre cet exercice..


Soit une lentille convergente L, de centre optique O et de distance focale f'. L'axe otpique de la lentille est noté X'OX. On considère un objet AB placé dans un plan frontal d'abscisse x (x O ==> X. x 0 donc ?

[I]2°) Ecrire l'équation du second degré permettant de calculer x' en fonction de D et f' Là encore une fois, je ne vois pas du tout..

Dans la formule de conjugaison, remplace OA et OA' par les x et x' qui vont bien puis exprime x en fonction de x' et D grâce à la réponse à la première question.

3°) a) Résoudre cette équation: montrer qu'elle n'admet de solutions que si D > ou = 4 f'. Donner alors les deux solutions de l'équation x'1 et x'2 Cela ne me semble pas difficile, mais n'aillant pas trouvée l'équation de la question précédente, c'est assez difficile à résoudre du coup..

Tu pourras en effet facilement répondre à cette question avec le discriminant quand tu auras l'équation.

[Emel-ii-nee]

Donc ...
1°) D = AA' = AO + OA'
D = -OA + OA'
D = x' - x
Ainsi, la formule de conjugaison d'une lentille est 1/x' - 1/x = 1/f'

Mais pour la question 2°), je bloque encore..
Grâce à la formule de conjugaison on sait que x = D - x'
Mais je bloque ici ...

[gigamesh]

Donc ...
1°) D = AA' = AO + OA'
D = -OA + OA'
D = x' - x
Ainsi, la formule de conjugaison d'une lentille est 1/x' - 1/x = 1/f'

Mais pour la question 2°), je bloque encore..
Grâce à la formule de conjugaison on sait que x = D - x'
Mais je bloque ici ...

Tu te compliques la vie ; remplace x par D-x' dans 1/x' - 1/x = 1/f' !!!

Puis mets les deux termes du membre gauche au même dénominateur, et enfin écris l'égalité des produits en croix.

[Benjamin]

Donc ...
1°) D = AA' = AO + OA'
D = -OA + OA'
D = x' - x
Ainsi, la formule de conjugaison d'une lentille est 1/x' - 1/x = 1/f'

Oui, c'est bon.

Mais pour la question 2°), je bloque encore..
Grâce à la formule de conjugaison on sait que x = D - x'

Attention, tu as fait une erreur, si D=x'-x, x= ? Et ce n'est pas grace à la formule de conjugaison, mais grace à la question 1.
Ensuite, tu remplaces x dans 1/x' - 1/x = 1/f' et tu écris alors l'équation vérifiée par x' (c'est à dire réduction au même dénominateur, etc... pour arriver à une équation du second degré en x'.

[Emel-ii-nee]

Donc..

2°) 1/x' - 1/x = 1/f'
Soit 1/x' - 1/D-x' = 1/f'
(D-x')/x'(D-x') - x'/x'(D-x') = 1/f'
(D-2x')/x'(D-x') = 1/f'
f'(D-2x') = x'(D-x')
f'D - 2f'x' = Dx' - x'²
x'² - (D+2f')x' + Df' = 0

Pour la 3°) on calcul le discriminant.
D'où Delta = b² - 4ac
Soit ici ; Delta = (D+2f')² - 4*1*Df' = D² + 4Df' + f'² - 4Df' = D² + f²
? ... Mais Je suis bloquée là..

[Emel-ii-nee]

Désolé, je me suis trompée... D = x' - x ==> x = x' - D pas D - x'
2°) x' - 1/x = 1/f'
Soit 1/x' - 1/x'-D = 1/f'
(x'-D)/x'(x'-D) - x'/x'(x'-D) = 1/f'
(-D)/x'(x'-D) = 1/f'
f'(-D) = x'(x'-D)
-Df' = x'² - Dx'
x'² - Dx' + Df' = 0

3°) a) Delta = D² - 4Df' = D(D-4f')
D > 0 donc Delta > 0 si D-4f' > 0 soit D > 4f'
x'1 = (D - [racine carrée de D² - 4Df'])/2
x'2 = (D + [racine carrée de D² - 4Df'])/2

b) |x'| est la distance entre l'écran et la lentille. Si l'écran et l'objet sont fixes (D est constante), on a donc 2 distances |x'1| et |x'2| entre l'écran et la lentille qui permettent d'avoir une image nette.

4°) d = x'2 - x'1 = (D + [racine carrée de D² - 4Df'])/2 - (D - [racine carrée de D² - 4Df'])/2
= [racine carrée de D² - 4Df']
d² = D² - 4Df'
4Df' = D² - d²
donc f' = (D² - d²)/4D