Pour définir ce qu'est un corps on doit partir du "commencement". On prend par exemple un ensemble T. On dit de T que c'est un groupe s'il est muni d'une loi de composition interne (*) qui vérifie trois propriétés :
- Il existe un élément neutre tel que . Par exemple l'élément neutre de l'ensemble des réels est 1.
- La loi * est associative : on prend x, y et z des éléments de T et on doit avoir x*(y*z)=y*(z*x)=x*y*z.
- Il existe un symétrique pour tout x tel que : pour tout x dans T, il existe au moins un y dans T tel que x*y=y*x=e.
Si le groupe est commutatif il me semble qu'on peut écrire (T, +)
Ensuite, on passe aux anneaux. Un anneau est un groupe commutatif qui a une deuxième loi de composition interne qui doit vérifier à nouveau trois propriétés :
- L'associativité de la multiplication : pour tout x et y dans T on a .
- Distributivité de l'addition : dans les mêmes conditions que ci-dessus .
- Il y a un élément neutre, 1 : si x appartient à T on a 1
Enfin, un corps c'est un anneau commutatif dans lequel on peut inverser tout élément non nul en multiplication.
C'est le cas de : pour tout x dans il existe un y tel que .
Quant à la question de prouver que est un corps, je dois dire que je l'admet, comme c'est stipulé dans le livre avec lequel je bosse.
PS : Nightmare, on devrait peut-être arrêter de parler de tout ça sur ce topic, je pense que j'ai déjà largement dépassé les bornes.