Mouvement de projectile

[globule rouge]

- 1/2 gt ² puisqu'on lance vers le haut --' désolé.

Et encore... il s'agit de la position plutôt

[Fabbien]

La 2eme condition : (alpha ne dépend donc pas de v ni de t), si tu choisis un autre alpha, il n y aura pas de rencontre.

Ah oui je suis bien d'accord mais ici alpha découle des valeurs non fixées que sont les coordonnées du point de rencontre

Donc alpha n'est pas du tout "bloqué" par l'énoncé et dépend des valeurs de X1 et Y1
De là découle un V0 (obtenu d'ailleurs avec le t1 choisi arbitrairement, dans la limite du possible)

Après on peut choisir un point d'impact et déduire (dans l'ordre) le temps alpha et la vitesse

Au couple (temps;coordonnées de l'impact) correspond un couple (alpha ; vitesse) chaque couple dépendant de l'autre mais effectivement, si un couple est fixé, le second couple aura une unique solution

[manoa]

Ah oui je suis bien d'accord mais ici alpha découle des valeurs non fixées que sont les coordonnées du point de rencontre

Donc alpha n'est pas du tout "bloqué" par l'énoncé et dépend des valeurs de X1 et Y1
De là découle un V0 (obtenu d'ailleurs avec le t1 choisi arbitrairement, dans la limite du possible)

Après on peut choisir un point d'impact et déduire (dans l'ordre) le temps alpha et la vitesse

Au couple (temps;coordonnées de l'impact) correspond un couple (alpha ; vitesse) chaque couple dépendant de l'autre mais effectivement, si un couple est fixé, le second couple aura une unique solution

Juste pour être sûr qu'on parle de la même chose: x1 et y1 ne représentent pas les coordonnées du point d'impact mais celles du point d'où on a laisser tomber (B) donc il sont bien fixés , après on ne contrôle pas (B) donc quand tu dit "on peut choisir un point d'impact"..

[Fabbien]

Juste pour être sûr qu'on parle de la même chose: x1 et y1 ne représentent pas les coordonnées du point d'impact mais celles du point d'où on a laisser tomber (B) donc il sont bien fixés , après on ne contrôle pas (B) donc quand tu dit "on peut choisir un point d'impact"..

Non non pour moi X1 et X2 représentent le point d'impact sinon X0 et Y0 (uniquement pour le point B)

Et je te choisis n'importe quel point d'impact (situé sur la droite de chute libre) il suffit juste de déterminer le temps nécéssaire pour que B atteigne ces coordonnées, d'où mon affirmation qu'il existe deux couples. Au sein de chaque couple les deux valeurs sont liées, et chaque couple dépend de l'autre !

Donc on détermine au choix un paramètre de chaque couple et les deux autres sont déduits.

[Black Jack]

Tuons le canard une fois pour toute ... enfin peut-être. :ptdr:

Le problème est facile à mettre en équation.

Pour le mobile A :
xa(t) = Vo.cos(alpha).t
ya(t) = Vo.sin(alpha).t - gt²/2

Pour le mobile b :
xb(t) = X1
yb(t) = Y1 - gt²/2

Pour que la collison puisse avoir lieu, on doit trouver un instant t1 tel que : xa(t1) = xb(t1) ET ya(t1) = yb(t2)

--->
Vo.cos(alpha).t1 = X1
Vo.sin(alpha).t1 - gt1²/2 = Y1 - gt1²/2

Qui se simplifie en :

Vo.cos(alpha).t1 = X1 (1)
Vo.sin(alpha).t1 = Y1 (2)

et en divisant (2) par (1) ---> tg(alpha) = X1/Y1
C'est une condition impérative pour que la collision ait lieu, on voit bien que alpha est imposé par la position initiale de B.

On a aussi (voir avant) : Vo.cos(alpha).t1 = X1
Et donc la durée depuis t = 0 jusque la collision est : t1 = X1/(Vo.cos(alpha))

Comme alpha est imposé par tg(alpha) = X1/Y1 , on a cos(alpha) = 1/racine(1+tg²(alpha)) = 1/racine(1 + (Y1²/X1)²) = X1/racine(X1² + Y1²)
---> t1 = X1/(Vo.cos(alpha)) = X1/(Vo.(X1/racine(X1² + Y1²)))
t1 = racine(X1² + Y1²)/Vo.

Et on a aussi que la collision doit se faire au dessus du niveau du sol ---> yb(t1) > 0

yb(t1) = Y1 - gt1²/2 > 0
Y1 > gt1²/2

Y1 > g/2 * (X1²+Y1)²/Vo²

Vo² > (X1²+Y1)².g/(2.Y1)

Vo > Racine[(X1²+Y1)².g/(2.Y1)] ... qui est la condition pour que l'impact se fasse au dessus du niveau du sol.
*****

En regroupant tous les résultats, on a :

tg(alpha) = y1/x1
Vo > Racine[(X1²+Y1)².g/(2.Y1)]

Qui sont les 2 conditions sur alpha et Vo impératives pour que la collision ait lieu et ceci au dessus du niveau du sol.

Et ces 2 conditions (sur alpha et Vo) étant respectées ... on peut calculer le temps jusque l'impact par t1 = racine(X1² + Y1²)/Vo.

... Mais tout ceci avait été largement indiqué par différents précédents messages.


:zen:

[Fabbien]

Tuons le canard une fois pour toute ... enfin peut-être. :ptdr:

Le problème est facile à mettre en équation.

Pour le mobile A :
xa(t) = Vo.cos(alpha).t
ya(t) = Vo.sin(alpha).t - gt²/2

Pour le mobile b :
xb(t) = X1
yb(t) = Y1 - gt²/2

Pour que la collison puisse avoir lieu, on doit trouver un instant t1 tel que : xa(t1) = xb(t1) ET ya(t1) = yb(t2)

--->
Vo.cos(alpha).t1 = X1
Vo.sin(alpha).t1 - gt1²/2 = Y1 - gt1²/2

Qui se simplifie en :

Vo.cos(alpha).t1 = X1 (1)
Vo.sin(alpha).t1 = Y1 (2)

et en divisant (2) par (1) ---> tg(alpha) = X1/Y1
C'est une condition impérative pour que la collision ait lieu, on voit bien que alpha est imposé par la position initiale de B.

On a aussi (voir avant) : Vo.cos(alpha).t1 = X1
Et donc la durée depuis t = 0 jusque la collision est : t1 = X1/(Vo.cos(alpha))

Comme alpha est imposé par tg(alpha) = X1/Y1 , on a cos(alpha) = 1/racine(1+tg²(alpha)) = 1/racine(1 + (Y1²/X1)²) = X1/racine(X1² + Y1²)
---> t1 = X1/(Vo.cos(alpha)) = X1/(Vo.(X1/racine(X1² + Y1²)))
t1 = racine(X1² + Y1²)/Vo.

Et on a aussi que la collision doit se faire au dessus du niveau du sol ---> yb(t1) > 0

yb(t1) = Y1 - gt1²/2 > 0
Y1 > gt1²/2

Y1 > g/2 * (X1²+Y1)²/Vo²

Vo² > (X1²+Y1)².g/(2.Y1)

Vo > Racine[(X1²+Y1)².g/(2.Y1)] ... qui est la condition pour que l'impact se fasse au dessus du niveau du sol.
*****

En regroupant tous les résultats, on a :

tg(alpha) = y1/x1
Vo > Racine[(X1²+Y1)².g/(2.Y1)]

Qui sont les 2 conditions sur alpha et Vo impératives pour que la collision ait lieu et ceci au dessus du niveau du sol.

Et ces 2 conditions (sur alpha et Vo) étant respectées ... on peut calculer le temps jusque l'impact par t1 = racine(X1² + Y1²)/Vo.

... Mais tout ceci avait été largement indiqué par différents précédents messages.


:zen:

Coin coin !

Je le vois à l'envers ce problème !

[manoa]

Non non pour moi X1 et X2 représentent le point d'impact sinon X0 et Y0 (uniquement pour le point B)

Et je te choisis n'importe quel point d'impact (situé sur la droite de chute libre) il suffit juste de déterminer le temps nécéssaire pour que B atteigne ces coordonnées, d'où mon affirmation qu'il existe deux couples. Au sein de chaque couple les deux valeurs sont liées, et chaque couple dépend de l'autre !

Donc on détermine au choix un paramètre de chaque couple et les deux autres sont déduits.

Au fait, c'est à peu près le même raisonnement , tu n'as juste pas approfondies les calcules, tu trouveras une seule valeur pour alpha:
X0 c'est tjrs égale à X1. donc (1)
et quand tu dis : "déterminer le temps nécéssaire pour que B atteigne ces coordonnées", c'est au fait au cas générale : résoudre ce qui donne : (2), et de 1 et 2 on tombe sur la 2eme condition qui impose un unique alpha.

désolé pour le retard , un bug avec le bouton envoyer :--:

[Mathusalem]

Fabbien, de grâce ne supplante pas un de nos collègues désormais si connu sur ce forum en prétendant sortir des échafauds préformatés, car sur ce problème pourtant élémentaire tu te gourres (comme souvent notre collègue) comme te l'a fait remarqué Black Jack.

Rockleader :
Lorsque l'on n'a pas l'habitude de manier les équations du mouvement, on gagne à tout écrire en détail pour ne pas se gourrer.

En général, pour un mouvement uniformément accéléré (c'est le cas ici car g, l'accélération, est constante) on a pour équation du mouvement après double intégration de "a" en fonction du temps



Grâce à celà, on peut écrire pour le projectile




Parce que :
- On choisit la repère Oxy au départ du projectile, donc x_0 et y_0 s'en vont.
- On projète la vitesse initiale selon x et y et on obtient les vitesses initiales
- Selon y l'accélération est a = -g (si on a pris y vers le haut)
- Selon x l'accélération est a = 0

On fait de même pour l'objet




Parce que :
- L'objet n'a pas de vitesse initiale
- L'objet se trouve en (x_1,y_1)
- L'objet n'est soumis à une accélération que selon y.

Temps de chute

On veut savoir pour quel temps on a , ce qui traduit une chute au sol.

Donc, on prend simplement l'équation





Temps de collision:

Puisque le projectile se déplace à vitesse constante selon l'axe x, et que l'objet est fixé en sa coordonnée s'il y a collision, elle a forcément lieu lorsque

Donc, on obtient immédiatement que



Maintenant que tu as vu deux exemples et que tu as les équations posées, essaie de refaire les raisonnement qui se trouvent dans un post qui ma foi est maintenant très loin en-haut de ce thread.

[Rockleader]

Désolé si je ne m'exprime pas comme je le devrais, j'essaie de montrer les choses telle que je les ai comprises...




Donc d'après la 2ème loi de NEwton appliquées au centre d'inertie:

On a dans le cas présent

(1) équation de l'accélération : a = g

Ce qui implique que l'équation de la vitesse est de la forme

(2) Vz(t)= gt + a (g sera d'abord négatif quand le projectile A montera, puis négatif lorsqu'il chutera)

Donc là je dois trouver la condition sur "a" non ? Et ainsi je pourrai continuer avec l'équation de la position ?

(3) Z(t) = 1/2 gt² puisque a sera de toute manière une constante ?


Hors là je ne trouve pas la même équation de la position que toi...

[Mathusalem]

Premièrement :

Newton appliqué à l'axe vertical que l'on nomme, disons, z.


Les seules forces projetées sur l'axe z sont : mg

Donc,


Avec la constante d'intégration c.
Cette constante est la valeur de la vitesse au temps 0 puisque v(0) = c.
Ainsi, on renomme comme la vitesse initiale du projectile selon l'axe z.

A partir de là, est-ce que tu arrives à reconstruire l'expression qui te dérange ?

[Rockleader]

Oki, mais dans notre cas, Zo est bien égal à 0 non ? Donc on peut l'oublier ? Auquel cas oui, je retrouve la même expression pour Z(t)


ET en admettant ce Zo qui me dérange un peu, je ne vois pas comment je l'obtiens en intégrant à partir de a(t) = g....

[manoa]

Pour éviter toute confusion, travaillons méthodiquement :
1-objet étudié : {solide B}
repère (O,x,y)

d'après newton : , maintenant on projète sur les axes Ox et Oy, ça donne a=-g
pour trouver la vitesse on intègre ce qui donne v(t)=-gt+Vo , or Vo est nulle (on a laissé tomber) donc v(t)=-gt.
pour trouver y en fonction de t on intègre une deuxième fois , alors (avec Yo l'ordonné initiale du solide B) . c'est OK ?

[Rockleader]

Quelque chose me chiffone dans ce que tu as dis...si on étudie réellement le solide B, celui ci a un mouvement de chute verticale, et donc on ne devrait pas avoir plutôt un g positif ? Parce que jusqu'à preuve du contraire, la terre applique une force qui n'est pas négative sur les corps non ?
Ou alors j'ai rien compris..


Sinon pour Zo = Yo, j'ai compris je pense.

[Skullkid]

g c'est g, c'est la constante physique qui vaut environ 9,81 N/kg. C'est un nombre positif, indépendant de toute modélisation, de tout choix d'axe. Quant à ta "force négative", ça ne veut rien dire, une force c'est un vecteur, ça n'a pas de signe. On fait souvent l'abus de langage entre une force (vecteur), son intensité (nombre positif) ou entre la composante d'une force selon une direction (vecteur) et le produit scalaire de cette force avec cette direction (nombre positif ou négatif), mais ce sont des abus de langage, ils n'ont pas leur place quand tu poses des équations.

Quand tu étudies un problème, tu choisis des axes (associés à un référentiel) comme tu veux et tu les gradues comme tu veux. Pour ce problème tu as choisi un repère cartésien avec un axe horizontal Ox et un axe vertical Oy. Selon la façon dont tu orientes l'axe Oy, les coordonnées de l'accélération de la pesanteur (le vecteur ) vont être soit (0,g) soit (0,-g). Manoa a choisi d'orienter l'axe Oy vers le haut donc il obtient une loi horaire y(t) = y(0) - gt²/2 (avec vitesse initiale nulle). Si tu choisis d'orienter l'axe Oy vers le bas, tu obtiens la loi horaire y(t) = y(0) + gt²/2.

C'est pourquoi il faut TOUJOURS :
- préciser le ou les référentiels d'étude, ainsi que les repères associés
- donner une définition claire des scalaires associés aux quantités vectorielles. Par exemple, si tu dis "j'appelle a l'accélération", on ne sait pas si tu parles de la norme de l'accélération (nombre positif) ou du produit scalaire du vecteur accélération avec ton vecteur unitaire vertical (qui peut être positif ou négatif selon la façon dont tu choisis d'orienter tes axes)

En l'occurrence, ton énoncé a fait ce travail à ta place, il te donne le sens des axes, qui est celui que Manoa a repris. Donc a pour coordonnées (0,-g).

[Rockleader]

Erf l'énoncé --' je l'avais presque oublié...sur mon brouillon j'avais mis l'axe y vers le bas...d'où la confusion, donc oui bien sur je suis d'accord avec monoa...autant pour moi.

Merci, je continue et j'essaie de voir si je retrouve !

[Mathusalem]

Erf l'énoncé --' je l'avais presque oublié...sur mon brouillon j'avais mis l'axe y vers le bas...d'où la confusion, donc oui bien sur je suis d'accord avec monoa...autant pour moi.

Merci, je continue et j'essaie de voir si je retrouve !

Commence en tout premier par établir les équations horaires du projectile et de l'objet

[Rockleader]

Pour le projectile B, on a donc :

a(t)= -g

v(t)= -gt + Vo Avec Vo nulle

z(t) = -1/2 gt² + Zo Avec Zo = Yi
==> Z(t) = -1/2gt² + Yi

C'est bien ça ?


En revanche pour le projectile A, j'ai un peu de mal, est ce que l'on considère qu'il va seulement monter ? Car il faut bien qu'il se mette à redescendre au bout d'un moment...donc inévitablement, à un moment donné le signe va changer non ?


Pour A, on aurait au début

a(t) = g

v(t)= gt + Vo (là on n'a pas de condition sous Vo, on doit le trouver)

Z(t) = 1/2 gt² + Zo Avec Zo = 0
==> Z(t)= 1/2 gt²

Mais le signe de g devrait changer lorsque le projectile A entamera la descente...

[Mathusalem]

Pour B t'as bon.

Pour A:
Est-ce que à ton avis, les lois de la nature sont ainsi faites qu'elles observent le projectile A, et "lorsqu'il devrait redescendre" font en sorte que le signe des constantes universelles s'inversent ?

Q: Premièrement, est-ce que tu as un problème à 1 ou 2 Dimensions ?
R: 2 dimensions

Q: Combien d'équations horaires décrivent alors le projectile ?
R: 2 équations. Une selon x (l'horizontale) et une selon z (la verticale)

Q: Quelles sont les conditions initiales du projectile ?
R: Positions : x0 = z0 = 0. Vitesses : v0 selon x c'est v0cos(alpha), v0sin(alpha) selon z

Q: A quelle accélération est soumis le projectile en considérant l'axe z pointant vers le haut ?
R: A est soumis à une accélération qui projetée sur l'axe z vaut -g (car dans le sens contraire de z) et n'est soumis à aucune accélération selon x.

Q: Quelles sont les équations horaires du projectile ?
R:



Le projectile montera d'abord puis descendra ensuite, car malgré le fait qu'il est toujours soumis à une accélération le tirant vers le bas, il a une vitesse initiale qui lui permet de monter encore pendant un certain temps.

[Rockleader]

ok, j'ai compris pourquoi on aura deux équations.

En revanche, ce que je ne comprends pas:

Q: Quelles sont les conditions initiales du projectile ?
R: Positions : x0 = z0 = 0. Vitesses : v0 selon x c'est v0cos(alpha), v0sin(alpha) selon z

Comment peut on savoir que Vo prend de telle valeur selon x et y ? C'est du cours ? Ou bien c'est quelque chose que l'on peut trouver de nous même dans chaque exercice et qui peut par conséquent varier d'un exo à l'autre ?

[Mathusalem]

Regarde ta donnée, relis-là, et projette.