Mouvement périodique d'une masse liée à un ressort

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Rockleader
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Mouvement périodique d'une masse liée à un ressort

par Rockleader » 29 Nov 2012, 16:11

Bonjour j'essaie de faire rapidement un exercice pour réviser mon DS.


-On considère une masse m qui se déplace horizontalement sans frottement étant soumide à la force de rappel F = -kx.ex avec x la position de la masse par rapport à l'équilibre

(si j'ai bien interprété, on aurait normalement -k(x-x0), hors ici x0 vaut 0 donc on peut l'enlever)


1-Etablir l'équa diff et l'écrire avec w² : x"+w²x = 0


LFD : ma = F = -kx

mx" + kx = 0

x"+ k/m x = 0

avec w² = k/m




2- Donner la solution générale de l'équa diff sous forme d'une combinaison d'exponentielle linéaire.
EN posant x de la forme exponentielle
On a donc
x=e^rt

Donc solution de la forme

r²e^rt +w²e^rt =0

<=> r² = -w²
<=> r= racine de (-k/m)

Je sais pas trop si c'est juste...


Je dois ensuite montrer que la solution peut s'écrire x(t)=Acos(wt)+Bsin(wt)

Quelque chose m'échappe mais je ne vois pas trop quoi...
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !



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par Rockleader » 29 Nov 2012, 16:34

SI quelqun pouvait rapidement m'enlever ce doute de ma tête, j'ai mon ds dans la journée...
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !

Benjamin
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par Benjamin » 29 Nov 2012, 16:43

Salut,

C'est juste jusque là. -k/m est négatif donc la racine de (-k/m) sera un nombre imaginaire pur : r1 = i*w et r2 = -i*w.

Donc solution de la forme C1*exp(r1*t) + C2*exp(r2*t) soit C1*exp(i*w*t) + C2*exp(-i*w*t) avec C1 et C2, 2 constantes complexes.

En posant C1 = (A+B/i)/2 et C2 = (A-B/i)/2 avec A et B réel et en développant, tu devrais y arriver ;)

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par Rockleader » 29 Nov 2012, 16:50

En posant C1 = (A+B/i)/2 et C2 = (A-B/i)/2 avec A et B réel et en développant, tu devrais y arriver ;)


Ok pour la première partie, ça me rassure je pensais être totalement dans le faux ça veut dire que mon raisonnement tient quand même un minimum la route^^


Pour cette partie je ne vois pas pourquoi on peut dire que C1 et C2 prennent ces valeurs là, puisque ce sont des constantes à déterminer que l'on ne connait pas !
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par Rockleader » 29 Nov 2012, 16:57

On est à

C1e^iwt + C2e^-iwt

Je sais que cos(w) = e^iwt + e^-iwt / 2

EN supposant C1 = C2

C1 (e^iwt + e^-iwt) = cos(wt) pour C1 = 1/2


Et je suis très loin du Acos(wt)+Bsin(wt) que je suis censé obtenir
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Benjamin
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par Benjamin » 29 Nov 2012, 17:26

J'ai un peu triché en partant de ce que je voulais obtenir.

Je n'ai aucun problème à poser C1 = (A+B/i)/2 et C2 = (A-B/i)/2 car je pourrai toujours choisir A et B de telle sorte que à avoir le C1 et C2 qui vont bien.

En fait, ce qu'on montre mathématiquement, c'est que n'importe quel combinaison linéaire de exp(iwt) et exp(-iwt) est solution de l'équation différentielle. En particulier celle avec C1 = (A+B/i)/2 et C2 = (A-B/i)/2.

Quand on résout dans R une équa diff du second degré et que delta est < 0, on passe dans le domaine complexe C de façon transitoire. Seulement, les solutions finales qu'on cherche, elle sont bien dans R. On se débrouille pour faire apparaitre des fonctions réelles.

En fait, on peut démontrer que les fonctions issues des combinaisons linéaires (exp(iwt)+exp(-iwt))/2 et (exp(iwt)-exp(-iwt))/(2i) forment une base de l'ensemble des solutions de l'équa diff à valeurs dans R.

En prenant à l'envers : A*cos(wt) + B*sin(wt) = A*(exp(iwt)+exp(-iwt))/2 + B*(exp(iwt)-exp(-iwt))/(2i) = (A+B/i)/2 * exp(iwt) + (A-B/i)/2 * exp(-iwt).

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par Rockleader » 29 Nov 2012, 17:38

Merci pour le coup de main, je suis pas sur d'avoir tout compris sur e dernier message mais je dois partir sinon je serais pas à l'heure à mon ds :=)


J'ai un peu triché en partant de ce que je voulais obtenir.


Ok, si je me fait prendre la main dans le sac je dirais que c’est toi qui m'a encouragé à le faire :ptdr:

Bon, sans rire c'est vrai que quand on est e physique je pense pas à travailler de cette façon alors qu'en math c'est instinctif... :zen:


Merci encore, je te dirais comment ça c'est passé à mon retour :)
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par Rockleader » 29 Nov 2012, 20:04

Je me suis lamentablement ramassé...ou plutôt devais je dire, j'aurais les points pour les raisonnements mais pas pour les résultats.

Ce qui m'énerve c’est que dès que je suis sorti du contrôle je savais où je m'étais trompé, le problème c'est qu'en une heure ça passe tellement vite qu'on a pas le temps de se relire, et en repensant a ce que j'ai fait je vois très clairement les erreurs...


Des conneries du genre exprimer la fréquence en fonction de la pulsation, et bah j'ai mis cash

f=1/T = 1/w .... j'ai pas pensé une seule seconde que T c'était 2piw ... alors que je le sais parfaitement...j'aurais eu une demi heure de plus tout ça je l'aurais pas planté...

De même, on a une équa diff, pourquoi on ne calcule pas la solition homogène, je répond parce qu'on l'a déjà calculer avant (...oui je suis con....) c'est simplement parce qu'on et en régime forcé et qu'en régime forcé la solution homogène tend vers 0 ....autant de conneries que j'aurais pu éviter avec un peu plus de temps....ça m'énerve de rater un ds en sachant pertinamment que j'avais les bonnes réponses...

J'espère que j'ai pas planté les calculs avec les mauvaises valeurs sinon j'aurais même pas les points du raisonnement --'
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !

Black Jack

par Black Jack » 29 Nov 2012, 20:11

On peut aussi se souvenir que e^(i.a) = cos(a) + i.sin(a)

x"+w²x = 0

r = +/- iw

x = C.e^(iwt) + D.e^(-iwt)

x = C.(cos(wt) + i.sin(wt)) + D.(cos(-wt) + i.sin(-wt))

x = C.(cos(wt) + i.sin(wt)) + D.(cos(wt) - i.sin(wt))

x = (C+D).cos(wt) + i(C-D).sin(wt)

...

:zen:

Benjamin
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par Benjamin » 29 Nov 2012, 22:02

Re,

Je suis bien navré pour toi, mais j'ai déjà pu constater que tu manques de concentration ! Tu fais énormément d'étourderies. Je comprends bien que ça ne va pas des masses te réconforter mais il faut essayer de travailler ses points faibles.
Je n'ai pas de solutions miracle, mais déjà, quand tu fais tes exercices, tu peux essayer de t'y consacrer à fond plutôt que de le faire sur 3 jours ! Il y a des choses qui doivent devenir des automatismes et pour ça, il n'y a que la pratique.

Bon courage en tout cas.

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par Rockleader » 29 Nov 2012, 22:43

je suis d'accord avec toi, mais c'est dur de transformer des choses en automatismes quand on sait pertinemment que ce n'est pas le genre de choses qui nous permettra de continuer plus loin dans les études.



J'ai une perception qui peut paraître étrange mais quand je vois un exo, je veux pouvoir déduire ce qu'il faut faire logiquement en raisonnant et non pas apprendre la méthode par coeur. EN gros je veux pouvoir retrouver la méthode tout seul en lisant l'exo. ET ça c'est de plus en plus difficiles...mais c'est normal...passé un moment je sais bien qu'il faut pouvoir faire même si on ne comprends pas tout, mais pour moi jeter un résultat appris par coeur ça n'a pas de sens...pour reprendre la célèbre formule en légèrement modifier^^

Rien ne se perd, rien ne s'invente, tout se démontre.
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Benjamin
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par Benjamin » 30 Nov 2012, 00:13

Re,

Je n'ai pas parlé de tout balancer par coeur. Ca n'a effectivement pas trop de sens. Mais plus tu avances, plus les bases doivent être avancées.
Est-ce que tu démontres à chaque fois que tu dois dériver un quotient que (u/v)'=(u'v-uv')/v² ? Je pense que non ;)

C'est pareil avec w=2*pi*f et T=2*pi/w.
C'est pareil avec x(t)=x0+v0*t+a/2*t² si accélération constante.
C'est pareil avec a = v²/R pour un mouvement circulaire.
etc...

En gros, ce que tu dis est très bien, mais pour le niveau de l'exercice demandé. Les connaissances précédentes, ce sont celles là qui doivent être des automatismes. Bien sûr que pour ce que tu es en train d'apprendre, il faut comprendre, sentir d'où ça vient etc...

C'est mon avis en tout cas.

Black Jack

par Black Jack » 30 Nov 2012, 15:48

Rockleader a écrit:Je me suis lamentablement ramassé...ou plutôt devais je dire, j'aurais les points pour les raisonnements mais pas pour les résultats.

Ce qui m'énerve c’est que dès que je suis sorti du contrôle je savais où je m'étais trompé, le problème c'est qu'en une heure ça passe tellement vite qu'on a pas le temps de se relire, et en repensant a ce que j'ai fait je vois très clairement les erreurs...


Des conneries du genre exprimer la fréquence en fonction de la pulsation, et bah j'ai mis cash

f=1/T = 1/w .... j'ai pas pensé une seule seconde que T c'était 2piw ... alors que je le sais parfaitement...j'aurais eu une demi heure de plus tout ça je l'aurais pas planté...

De même, on a une équa diff, pourquoi on ne calcule pas la solition homogène, je répond parce qu'on l'a déjà calculer avant (...oui je suis con....) c'est simplement parce qu'on et en régime forcé et qu'en régime forcé la solution homogène tend vers 0 ....autant de conneries que j'aurais pu éviter avec un peu plus de temps....ça m'énerve de rater un ds en sachant pertinamment que j'avais les bonnes réponses...

J'espère que j'ai pas planté les calculs avec les mauvaises valeurs sinon j'aurais même pas les points du raisonnement --'


C'est aussi dans ce genre de chose qu'il faut faire attention. Tu sais que tu t'es trompé ... et tu refais une erreur, en affirmant que tu es sûr de ce que tu annonces finalement.

Et c'est de nouveau faux.

C'est T = 2Pi/w

:zen:

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par Rockleader » 30 Nov 2012, 17:46

Black Jack a écrit:C'est aussi dans ce genre de chose qu'il faut faire attention. Tu sais que tu t'es trompé ... et tu refais une erreur, en affirmant que tu es sûr de ce que tu annonces finalement.

Et c'est de nouveau faux.

C'est T = 2Pi/w

:zen:


Cela par contre c'était pas une erreur, mais une faute de frappe, j'étais tellement énervé que j'ai pas tapé sur la touche --'

De toute fa_on ce qui est fait est fait...le principal c'est d'avoir compris...
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !

Mathusalem
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par Mathusalem » 30 Nov 2012, 17:55

Rockleader a écrit:Cela par contre c'était pas une erreur, mais une faute de frappe, j'étais tellement énervé que j'ai pas tapé sur la touche --'

De toute fa_on ce qui est fait est fait...le principal c'est d'avoir compris...


C'est là que tu commences gentiment à te rendre compte que pour réussir correctement ce genre de test, il faut que tu t'entraines, c'est-à-dire faire du drill. Tu fais énormément d'exercice, à force tu sauras exactement où tu dois arriver et tu auras des automatismes du genre T = .. et tu sauras si ce que tu as trouvé ça pue ou pas.

Le problème c'est que c'est une épreuve de vitesse. J'ai toujours été très mauvais dans ce genre d'examen. J'en ai eu marre, et j'ai résolu tous les exos que j'ai trouvé sur le sujet en question dans tous les bouquins que j'ai trouvé. Après ça passe.

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par Rockleader » 30 Nov 2012, 18:09

Le problème c'est que c'est une épreuve de vitesse.


C'est exactement ça, j'ai pas eu le temps de terminer le sujet en lui même, je n'ai donc pas eu le temps de me relire non plus...avec un petit quart d'heure de plus j'aurais largement pu corriger mes erreurs...
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !

 

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